НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК. 53.098

Россия, Волгоградский государственный университет

yakimets_volsu@mail.ru

1. Введение

Исследования, посвященные изучению взаимодействию взаимно перпендикулярных магнитных полей в нелинейных магнетиках имеют почтенный возраст [1]. Как правило, в качестве такой нелинейной среды рассматривают ферромагнитные материалы и среды [2]. Одним из практических результатов таких исследований стала разработка феррозондовых магнитометров, обладающих рекордной (для не квантовых измерителей) чувствительностью [3]. Вместе с тем, хотя современная теория ферромагнетизма не позволяет аналитически описывать гистерезис, анализ работы феррозонда [2] показывает, что гистерезисные потери являются фундаментальным ограничением порога чувствительности феррозондовых магнитометров.

Существенно повысить чувствительность, быстродействие электронной аппаратуры возможно при переходе к более низким температурам, в частности при использовании в измерительной и вычислительной технике сверхпроводящих материалов. Электродинамика сверхпроводников  в диапазоне радиочастот, на котором энергия кванта существенно меньше ширины энергетической щели, с достаточной точностью описывается уравнениями Гинзбурга – Ландау [4]. Хорошо известно, что сверхпроводники так же как и ферромагнетики обладают нелинейными магнитными свойствами. Более того, вытекающая из уравнений  Гинзбурга – Ландау нелокальность взаимодействия сверхпроводящего конденсата куперовских пар с магнитным полем оказывает существенное влияние на генерацию высших гармоник в радиочастотном диапазоне [5].

Рисунок 1. Сверхпроводящий провод во внешнем поле

Поскольку потери в сверхпроводниках в радиочастотном диапазоне пренебрежимо малы, нелинейная восприимчивость сверхпроводников второго рода с успехом используется для измерения слабых магнитных полей [6, 7]. Вместе с тем все существующие сверхпроводниковые магнитометры основаны на взаимодействии параллельных магнитных полей – измеряемого постоянного поля и радиочастотного поля накачки, то есть повторяют конструкцию классического феррозонда с продольным возбуждением. Можно ожидать, что нелинейное взаимодействие взаимно перпендикулярных магнитных полей в сверхпроводниках, рассматриваемых как нелинейный проводящий магнетик [8], позволит разработать магнитометры, не уступающие по чувствительности квантовым, например, сквидам [9, 10]. Улучшение чувствительности возможно благодаря тому, что объем, в котором происходит нелинейное взаимодействие, гораздо больше объема джозефсоновского контакта в сквиде.

Несмотря на большое количество публикаций, посвященных нелинейной электродинамике сверхпроводников второго рода, вопрос о нелинейном взаимодействии взаимно перпендикулярных магнитных полей в них до сих пор не рассматривался. Задачей работы является описание этого взаимодействия по аналогии с классической работой [1] для ферромагнетиков с помощью уравнений Гинзбурга – Ландау и аналитическое решение полученных нелинейных уравнений для предельного случая проволоки толщиной меньше лондоновской глубины проникновения методом последовательных приближений. Цель работы – оценить потенциальную чувствительность криозонда, использующего взаимодействие взаимно перпендикулярных магнитных полей в сверхпроводнике второго рода в задачах магнитометрии.

2. Постановка задачи

Пусть зондом сверхпроводникового магнитометра, который можно назвать криозондовым, является тонкая проволока из сверхпроводника второго рода диаметром , причем , где  – длина когерентности, а  – глубина проникновения. Запишем для проволоки, находящейся во внешнем продольном однородном магнитном поле H_e, по которой течет ток  (рис. 1), уравнения Гинзбурга-Ландау [4]:

,                                    (1)

,                                               (2)

,                       (3)

где  - вектор нормали к поверхности сверхпроводника,  – нормированный параметр порядка,  – векторный потенциал магнитного поля,  – квант магнитного потока.

Выберем цилиндрическую систему координат так, чтобы ось z совпадала с осью проволоки. Пусть напряженность внешнего магнитного поля равна . Магнитное поле, создаваемое током, имеет вид . Выберем калибровку вектор потенциала  таким образом, чтобы функция  была вещественной. Тогда уравнения (1) - (3) сводятся к нелинейным дифференциальным уравнениям (4) - (6) с действительными коэффициентами и граничным условиям (7) к ним:

,                                    (4)

,                                              (5)

,                                                         (6)

                        (7)

3. Методика решения

В силу симметрии задачи можно считать, что параметр порядка Ψ и вектор потенциал  зависят только от координаты . Тогда из уравнения (6) следует , что согласуется с первым граничным условием (7) Таким образом, вектор  имеет только  и  компоненты: . Введем безразмерную координату  и безразмерные компоненты вектор-потенциала ,  где , и обозначим ,  – малые параметры. Тогда уравнения (4), (5) и (7) принимают вид

,                                        (8)

,                                           (9)

,                                           (10)

   (11)

Если потребовать дополнительно, чтобы при  выполнялись условия:

,                                           (12)

то уравнения (8) – (10) можно решать методом последовательных приближений, положив  . Подставляя это разложение в уравнение (8) и приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях  и , получим , , . Тогда уравнения (9) – (12) принимают вид:

,                                     (13)

,                                       (14)

,    (15)

.                                (16)

Найдем приближенное решение уравнений (13) и (14), используя метод регулярного разложения по малому параметру , в виде:

С учетом граничных условий (15) в нулевом приближении, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, получим:

,

где  и  – модифицированные функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков, соответственно.

Используя известное фундаментальное решение уравнения [11], следующее приближение решения уравнения (13) имеет вид:

где  - детерминант Вронского,  – модифицированная функция Бесселя второго рода первого порядка. Тогда приближенное решение второго уравнения системы (8) может быть записано следующим образом:

Оценим величину магнитного потока через поперечное сечение сверхпроводящей проволоки. Приближенно вычисляя интегралы, входящее в последнее выражение, раскладывая модифицированные функции Бесселя вблизи нуля () и ограничиваясь линейными по  слагаемыми, получим:

Откуда:

                                          (17)

где  - критическая плотность тока [12], ,  – площадь поперечного сечения зонда.

Оценим порог чувствительности криозондового магнитометра. Пусть по зонду протекает переменный ток , создающий в нем плотность тока , близкую к критической. Положим . Как и в феррозондовом магнитометре, сверхпроводящая проволока является сердечником LC контура с резонансной частотой близкой к  (рис. 1). Если катушка индуктивности является длинным соленоидом, содержащим  витков, то:

,                                                    (18)

где  постоянное или медленно меняющееся измеряемое магнитное поле,  – заряд на конденсаторе .

Колебания в резонансном контуре описываются уравнением:

.                                                    (19)

Подставляя в уравнение (19) выражение (17) для магнитного потока через сверхпроводящий зонд с учетом соотношения (18), получим дифференциальное уравнение второго порядка:

,          (20)

где обозначено , , , , , , , .

Поскольку , найдем решение уравнения (20) методом последовательных приближений в виде  . В нулевом приближении, система описывается уравнением:

.

Решение имеет вид:

.

При точной настройке контура () для выходного напряжения преобразователя получаем:

,                         (21)

где  – добротность контура,  – поток измеряемого магнитного поля  через поперечное сечение сверхпроводникового зонда.

Из формулы (21) видно, что напряжение на контуре  осциллирует с частотой  синхронно с переменным током , текущим по проволоке, что позволяет использовать метод синхронного детектирования. Амплитуда  выходного напряжения пропорциональна измеряемому магнитному полю , причем крутизна преобразования растет с увеличением частоты .

Известно, что глубина проникновения переменного электромагнитного поля зависит от его частоты. Критическую частоту, при которой это изменение становится существенным, можно оценить из выражения для комплексной глубины проникновения [12]:

,

где ,  - плазменные частоты сверхпроводящих и нормальных электронов, их значения порядка 10¹⁰ …  10¹¹ Гц,  - эффективная частота столкновений, равная 10¹⁰ Гц,  - частота электромагнитного поля. Таким образом, изменение глубины проникновения в  происходит на частоте порядка  Гц и для рабочей частоты 30 МГц ей можно пренебречь. При низких температурах легко получить для контура, содержащего  витков добротность . Если , то коэффициент пропорциональности в формуле (21) между амплитудой выходного напряжения   и потоком Ф измеряемого магнитного поля составит .

4. Результаты и обсуждение

Собственное шумовое напряжение измерительного усилителя, приведенное к входу, имеет величину порядка 1 нВ в полосе 1 Гц, тогда порог чувствительности криозондового магнитометра по магнитному потоку  не уступает лучшим сквидам [9, 10] при том, что конструкция сверхпроводникового зонда гораздо проще и технологичнее. По сути, сверхпроводниковый зонд очень похож на криотрон [9], в котором вентиль является зондом, а управляющая катушка – резонансным контуром.

Требование  фактически использовалось только для упрощения расчетов. При практических применениях достаточно выбирать , в этом случае взаимодействие скрещенных полей будет происходить по всему объему сверхпроводника. При этом для магнитометрии нужны "плохие" сверхпроводники – с большой глубиной проникновения и малой плотностью критического тока, например ВТСП-керамика с пониженным содержанием кислорода вблизи перехода. При температуре 77 К эффективная глубина проникновения в керамическом сверхпроводнике порядка 100 мкм [13].

Поскольку в соответствии с формулой (17) поток переменного магнитного поля через сечение сверхпроводника не зависит от направления тока в нем, сверхпроводящую проволоку диаметром 0,1 мм можно уложить "змейкой" так, чтобы в соседних звеньях ток протекал в противоположных направлениях. Зонд магнитометра диаметром 1 мм будет состоять из 100 таких звеньев и позволит получить порог чувствительности по магнитному полю порядка . Такая чувствительность является рекордной даже для квантовых магнитометров и позволит проводить предельные измерения в области гео- и био-магнетизма. Отметим, что в отличие от сквидов, сигнальная характеристика криозондового магнитометра не является периодической, поэтому такой магнитометр может измерять абсолютное значение магнитной индукции, а не только ее изменение.

5. Заключение

1. Получено приближенное решение задачи о нелинейном взаимодействии взаимно-перпендикулярных магнитных полей в сверхпроводнике второго рода в квазистационарном приближении.

2. Показана возможность использования взаимодействия взаимно-перпендикулярных магнитных поле в сверхпроводящей проволоке для измерения напряженности магнитного поля.

3. Оценена предельная чувствительность криозондового магнитометра с поперечным возбуждением, рекордная даже для квантовых магнитометров.

Работа выполнена в рамках реализации ФПЦ «Научные и научно-педагогические кадры инновационной Росии» на 2009 – 2013 годы (соглашение № 14.В37.21.0736).

6. Список литературы

1.     Горелик Г.С. О некоторых нелинейных явлениях, происходящих при суперпозиции взаимно перпендикулярных магнитных полей // Известия Академии наук СССР. Серия Физическая. 1944. Т. VIII, № 4. С. 172-188.

2.     Зацепин Н.Н. Метод высших гармоник в неразрушающем контроле металлов. Минск: Наука и техника, 1980. 167 с.

3.     Афанасьев Ю.В. Феррозонды. Л.: Энергия, 1969. 168 с.

4.     Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. К теории сверхпроводимости // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1950. Т. 20, вып. 12. С. 1064 – 1082.

5.     Игнатьев В.К. Обобщенная проницаемость сверхпроводника второго рода // Физика низких температур. 2005. Т. 31, № 12. С. 1355 – 1365

6.     Игнатьев В.К., Черных С.В. Сверхпроводящий магнитометр с обратной связью по магнитному полю // Приборы и техника эксперимента. 1996. № 2. С. 124 - 126.

7.     Игнатьев В.К., Якимец А.Л. ВТСП-магнитометр с двойной модуляцией // Измерительная техника. 2000. № 10. С. 49 - 52.

8.     Игнатьев В.К., Якимец А.Л. Нелинейное взаимодействие трех волн в проводящем магнетике // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2002. № 1. С. 55 - 59

9.     Алфеев В.Н., Бахтин П.А., Васенков А.А., Войтович И. Д., Махов В. И. Интегральные схемы и микроэлектронные устройства на сверхпроводниках / Под ред. В.Н. Алфеева. М.: Радио и связь, 1985. 232 с.

10.  Игнатьев В.К., Краснополин И.Я. Оптимизированный СКВИД с радиочастотным смещением в диапазоне 25 - 30 МГц // Приборы и техника эксперимента. 1982. № 1. С. 198 – 201.

11.  Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001. 576 с.

12.  Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводников. М.: МЦНМО, 2000. 402 с.

13.  Копелевич Я.В., Леманов В.В., Холкин А.Л.. Частотная зависимость импеданса и глубина проникновения магнитного поля в керамике  // Физика твердого тела. 1989. Т. 31, вып. 8. С. 302 – 304.