НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 539.3; 539.374

Россия, Балашиха, Военно-технический университет

06kfk38@mail.ru

Введение

 Анализ тензорно – нелинейных уравнений, представленных в работах [1] и [2], показал, что с их помощью можно не только найти объяснение эффектам второго порядка (О. Рейнольдса, Р. Ривлина и других), но и точнее отразить внутренние процессы, влияющие на деформационные характеристики материала. Однако это направление механики твердого тела пока не вошло в один ряд с известными классическими теориями. Основное достоинство уравнений В.В. Новожилова [2] состоит в том, что они позволяют явно отражать зависимость деформационных свойств изотропных материалов от вида напряженного состояния. Одной из причин, по которой это направление находится на стадии развития, следует считать отсутствие надежных методик, позволяющих найти связь данной теории с результатами испытаний материалов. Именно решению этой проблемы посвящено настоящее исследование.

Его основной целью явилась разработка методик для определения функций при  тензорных аргументах этих уравнений, которые до их определения по результатам испытаний будем называть, как и в [3], материальными функциями, а после – деформационными характеристиками. Эти методики способствуют разработке математических моделей структурно-неоднородных сред с учетом особенностей, выявленных в ходе экспериментальных  исследований, в которых показана необходимость применения тензорно – нелинейных уравнений для сред со сложной структурой. Примером таких сред является высоконаполненный полимерный материал (ВНП), тензорная нелинейность которого отчетливо проявляется при целенаправленных испытаниях автора.

Научная новизна результатов исследования заключается в раскрытии физического смысла тензорной нелинейности как эффекта, проявляющегося при деформации твердых тел. Его учет способствует установлению более точной связи девиаторных и шаровых частей тензоров напряжений и деформаций, на основе которых разработана математическая модель. Работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Первая глава посвящена анализу тензорно – нелинейных уравнений, вторая результатам  экспериментальных исследований ВНП и их анализу, третья разработке методики восстановления материальных функций и обоснованию достоверности и единственности ее результатов. В четвертой главе дан вывод уравнений для описания эффекта дилатансии (в обобщенном смысле – разрыхления или изменения среднего напряжения при формоизменении), включенных в состав алгоритмов, рассмотренной модели и сопоставление их с результатами испытаний.

1 Анализ тензорно – нелинейных уравнений

Тензорно-нелинейные уравнения М. Рейнера [1] представляют собой связь деформаций с напряжениями

 и напряжения с деформациями

где, - компоненты тензора деформаций и напряжений, - скалярные

материальные  функции при тензорных аргументах; .

Уравнения В.В. Новожилова представлены в работе [2] в виде соотношений связи девиатора деформаций с девиатором напряжений

и соотношений связи девиатора напряжений с девиатором деформаций,

где      - коэффициенты при обобщенных характеристиках:  - податливости  и   - модуле;   - единичный тензор, и  - углы вида напряженного и деформированного состояний, соответственно. Величины

представляют собой интенсивности напряжений и деформаций,  компоненты девиаторов напряжений и деформаций, соответственно.

Уравнения (3) и (4) далее используются с другими обозначениями материальных функций  

Здесь

 - податливости при сдвиге,  - главные деформации сдвига, а  -главные касательные напряжения; .

Податливости и модули могут быть представлены в форме произведения: . В этих выражениях- коэффициенты. Для удобства преобразований используются величины: Подобные же величины  представляют собой такие же функции угла .

В уравнениях (6) значения функции  имеет смысл средней, а  среднеквадратической податливости формоизменения для всех площадок элементарного объема, в том числе и октаэдрической. После преобразований первых равенств в (8) и (9), используя эти величины, материальные функции  приобретают выражения, которые  оказываются тождественными функциям уравнений В.В. Новожилова и придают им соответствующий физический смысл.

Вновь введенные податливости

определяются из уравнений (6) для главных деформаций сдвига . Пользуясь определением (5) для деформации  и уравнениями (6), обобщенная податливость  принимает выражение

а из вторых равенств соотношений (8) и (9) вытекает выражение для тангенса  фазы подобия девиаторов [2]

Эта формула показывает, что угол  может быть определен только при наличии функций  и  .

Аналогично функциям  и в уравнениях (7), после их преобразований к виду

где ;

можно придать смысл среднего  и среднеквадратического  модулей.

Вновь введенные модули взаимосвязаны соотношениями

вытекающими из уравнений (7) для напряжений  .

Пользуясь определением(5) для напряжения , обобщенный модуль можно выразить через функции  и  

а из вторых равенств соотношений (13) и (14) находится еще одно соотношение для тангенса фазы  подобия девиаторов

Из (9) и (14) следует, что среднеквадратическая податливость  или среднеквадратический модуль  не равны нулю, если хотя бы две из трех  функций  или не равны между собой. В случае отсутствия различия в значениях между  или тензорно-нелинейные уравнения вырождаются в линейные. Результаты преобразований, позволивших найти первые равенства  соотношений (9) и (14), впервые изложены в работе [5]. Это различие модулей не является «разномодульностью» [6], поскольку модули  относятся к одному и тому же напряженному состоянию. В данном случае различие  или  в разных направлениях указывает на наличие анизотропии среды, которая до деформации была изотропной.

Термин «деформационная анизотропия» уже закрепился в теории пластичности как явление, сопровождающее пластическую деформацию после разгрузки [2]. Предлагается далее эффект анизотропии, возникающий в процессе пропорционального нагружения, называть «тензорной нелинейностью». Такой термин уже вошел в теорию вязких жидкостей при описании их течения тензорно - нелинейными уравнениями [3, 4]. Следует ожидать, что исследования деформации высоконаполненных полимеров внесут полезный вклад в анализ явлений типа эффекта Вайссенберга [4]. Количественную оценку степени тензорной нелинейности можно проводить по значениям коэффициентов  или , которые названыпараметрами  тензорной нелинейности.

 Первые проявления тензорной нелинейности, обнаружились при испытаниях (например, в [8]), по отсутствию равенства отношений ; . В дальнейшем при изучении вопроса о подобии девиаторов  и  появилась необходимость определения связи между углами  и  или между параметрами Лоде  и , которая может быть найдена только при наличии среднеквадратических характеристик  или .

Действительно, если воспользоваться уравнениями в форме (6) для главных деформаций сдвига, можно найти аналитическую зависимость между параметрами Лоде

Для определения формы диаграммы Лоде удобно пользоваться величиной, представляющей собой разницу параметров

Анализ выражения (19) показывает, что эта величина больше нуля при всех углах , кроме и  , где она принимает нулевое значение, а график диаграммы Лоде имеет форму вогнутой кривой, находящейся ниже прямой .

 Эту величину, исходя из определений  и ,  можно представить в виде дроби

Преобразование соотношения (12) для тангенса фазы подобия девиаторов так же приводит к виду, аналогичному (20)

с тем же числителем. Соотношения (20) и (21) указывают на связь  и . Знаменатели  в них имеют размерность работы, а числитель  равен работе касательных напряжений на взаимных деформациях, которая в общем случае отличается от нуля и связана с отклонением от принципа взаимности работ. Из этих соотношений следует достаточно общий вывод, что процесс деформирования, сопровождающийся нарушением подобия девиаторов, является нелинейным. Этот вывод можно найти в работах [7, 9].

2 Экспериментальные исследования ВНП и анализ их результатов

Главной целью исследований явился поиск особенностей в поведении материала. Вследствие низкой жесткости ВНП испытания трубчатых образцов из него являются практически  невозможными. Поэтому поиск методов исследований ограничивался испытаниями при простых напряженных состояниях. В работе [10] представлено краткое описание оснастки вместе с датчиками и приборами для испытаний образцов ВНП на растяжение, сжатие, сдвиг, растяжение в дилатометре и на объемное сжатие. Основными результатами являются диаграммы  и графики  - для растяжения и сжатия, где коэффициент поперечной деформации, - продольная деформация.Возможность установить по результатам испытаний начальные значения коэффициентов поперечных деформаций отсутствовала, поскольку они превышали значения для наполненной сажей резины, а иногда превышали значение числа 0,5. Поэтому потребовались испытания на сдвиг и объемное сжатие для определения модуля упругости  по диаграмме  и модуля  по кривой .

Для изотропного материала условие  равнозначно утверждению, что деформация растяжения сопровождается уменьшением объёма образца. Чтобы убедится в отсутствии этого явления, потребовались испытания с измерением объёмной деформации с помощью дилатометра, специально изготовленного с этой целью. В результате испытаний получена зависимость объемной деформации  от продольной деформации при растяжении. Уменьшение объёма образца при растяжении не проявлялось. Уровень жидкости в измерительной трубке оставался  неизменным до , затем после , с возрастающей скоростью поднимался, что свидетельствовало о процессе разрыхления.  Эти измерения позволили получить кривую для коэффициента поперечной деформации. Отклонение этого коэффициента от значения 0,5 при сжатии объясняется разрыхлением, а при растяжении при деформации - существенной неоднородностью материала.

Исследования выявили ряд особенностей: заметное расхождение начальных значений модулей упругости  при растяжении и  при сжатии, что указывало на наличие начальной разномодульности. Одной из основных причин такого поведения следует считать реакцию подобных материалов на знак среднего напряжения. Кроме того, начальные значения модулей упругости при сдвиге и объемной деформации различаются для исследуемого ВНП примерно на два порядка.

Эти особенности и трудности принятия значений для начальных коэффициентов поперечных деформаций  и  показывали, что формулами линейной теории упругости, связывающих основные константы, невозможно воспользоваться. Проявилась необходимость согласования начальных упругих характеристик с учетом этихособенностей.Анализ показал, что уравнения (6) можно привести к виду, характерному для уравнений, описывающих деформацию анизотропного тела [11], а именно

где

;  ,   - модули упругости в направлении главных напряжений, а  - коэффициенты поперечной деформации,  -параметр дилатансии.Если принять исходные характеристики по испытаниям на растяжение, сжатие, сдвиг и объемное сжатие , то полученные соотношения (23) и (24) позволяют представить технические характеристики с учетом начальной разномодульности

где  - модули упругости до деформации изотропной среды.

Формулы (25), (26) и (27)  получены после введения в рассмотрениепараметра , представляющего начальное расхождение модулей и коэффициентов поперечных деформаций. Считая значения модулей  и фиксированными, уточняются модули при растяжении и сжатии

Полученные соотношения (25) (28) представляют простейшую модель на основе  тензорно – нелинейных уравнений, которая позволила связать все начальные упругие характеристики и показала, что разномодульность следует отнести к частному случаю эффекта тензорной нелинейности.

3   Методика восстановления материальных функций                

Испытания образцов из ВНП позволили по трем напряженным состояниям: растяжения, сдвига и сжатия получить диаграммы в координатах «интенсивность напряжений - интенсивность деформаций», , которые приведены на рис. 1. Они в дальнейшем называются базовыми диаграммами. Кривые 1, 2 и 3 соответствуют сжатию, чистому сдвигу и растяжению.

Рис. 1.   Начальные участки диаграмм   ВНП: кривая 1 - при сжатии, 2 -  сдвиге, 3 - растяжении.

Назначение методики является восстановление материальных функций и установление связи изложенной теории с результатами экспериментальных исследований с учетом выводов. Она представляет собой более проработанный вариант, по сравнению с ранее описанным в [12], и  использует так же процедуру разбивки оси  на 15  20 отрезков с равным шагом. Для каждого значения деформации  по экспериментальным кривым определялись  напряжения  и податливости. Анализ соотношения (10) для податливостей  позволил принять равенства: ,  ,  . При установлении этих равенств используется еще соотношение (11), которое для состояний   и  принимает вид. Индекс  далее опускается.

          На первом этапе вычисления средней  (8) и среднеквадратической податливость  (9), можно не уточнять индекс податливостей .Предполагая существование напряженного состояния, в котором податливостями в направленииглавных касательных напряжений являютсяданные при , для вычислений значений этих  характеристик использовались формулы   и

По этим значениям определяются  (12) и угол вида деформированного состояния  уже для любого угла.

Найденные выше равенства позволяют найти обобщенную податливость при любом значении  по соотношению  

которое с помощью коэффициентов  ,     распределяет положение податливостей,  и  по своим значениям угла.

На втором этапе, располагая значениями , угламии , появляется возможность найти все характеристики по их определениям (в тригонометрическом виде). А именно: среднюю  (8) и среднеквадратичную податливость  (9), а также среднюю жесткость  (13) и среднеквадратичную жесткость  (14). А затем, повторяя определение угла фазы подобия девиаторов (17)  и угла , уточняются их значения.Результаты расчетов по описанной методике иллюстрируются на рис. 2 графиками для характеристик формоизменения с множителями , ,, и .

Кривая 1 представляет среднюю податливость, которая, как следует из поведения базовых диаграмм, возрастает. Примерно так же ведет себя среднеквадратическая податливость - кривая 4. Кривая 2 дает представление о среднем  модуле , который плавно снижается. Поведение среднеквадратического модуля сложнее. Вначале он  быстро возрастает, а затем снижается, поэтому кривая 3 становится выпуклой. Кривая 5 для тангенса фазы имеет форму в соответствии с определением (12).

Для состояний  и  все характеристики вычислялись при смещениях от точных значений  на одну десятую градуса. На рис. 3 кривые 1, 2, 4, 5 представляют характеристики с такими же множителями в зависимости от угла  при , а кривой 3 дан график для тангенса фазыс множителем 30.

На рис. 4 кривые 1, 2 и 3 представляют модули  в зависимости от  угла . Значения модуля  в точке  и  в точке  (рис. 4) методика определяет так же  приближенно [11].

Рис. 4. Зависимость модулей  от угла вида напряженного состояния

Чтобы убедиться, что характеристики формоизменения, отражают реальные свойства, на третьем этапе производится проверка.Она заключается в том, что произведение обобщенной податливости  (11) на обобщенный модуль  (16) равно единице. В ходе отработки методики выполнялась так же проверка по значениям коэффициентов

, которые определялись по первому равенству с помощью методики после вычисления характеристик, и по второму равенству, как тригонометрические величины. На графиках  рис. 5 а) и б)  кривые по обоим равенствам  совпадают. При вычислениях по методике математические трудности можно избежать, если вычисления для состояний  и выполнять, как и ранее для  характеристик формоизменения, при смещениях значений углов от точных значений на одну десятую градуса.

Вариации значений углов  на 35 сотых градуса на положение кривых 1 рис. 5 а) и 3 рис. 5 б) практически не отражались. Коэффициент  на рис. 5 а) представлен кривыми при  (угол  изменяется с шагом в пять градусов). При, коэффициент, поскольку. Затем коэффициент  монотонно повышается с уменьшением угла  и при , когда для модуля  имеет место неопределенность .

Рис. 5. Зависимость коэффициентов  и  от деформации  и угла: а) и б), соответственно.  Кривая с номером 1 – растяжение, 2 – чистый сдвиг, а 3 – сжатие.

Физический смысл неопределенности объясняется тем, что диагональная площадка элемента тела, параллельная напряжению , свободна от касательных напряжений и деформаций сдвига. На рис. 6 а) показаны кривые зависимости коэффициентов  от угла. Коэффициент  при, то естьточном значении этого угла имеет неопределенность. Кривые представляются  гладкими функциями при подходе к точкам  и . Это говорит о наличии предельных значений для них по первому признаку Коши [15]. Значение коэффициента колеблется около единице в пределах 1%, что иллюстрируется на рис. 6 а), поэтому функция  определяется при всех . Поведение коэффициента , аналогично поведению коэффициента . Неопределенность для   то же имеет место. При  коэффициент , а с ростом угла  уменьшается.

 Модули сдвига  и  могут быть определены в этих точках по предельному значению   коэффициентов. Для нахождения предельных значений коэффициентов ,  можно вначале определить числители, используя соотношение (16), которое для данных значений угла  принимает вид, и выражения для модулей  (15). После преобразований они принимают выражения: , , где   - обобщенный модуль при  ,  а    при , являющиеся  знаменателями. 

Это для коэффициентов дает неравенства ,  , которые не нарушаются, еслипринять   и тем самым  установить  предельные выражения

Рис. 6. а) Зависимость коэффициентов,  и от угла вида    при деформации .   б) Связь коэффициентов  при и при с параметром от деформации

Полученный результат согласуется с графиками рис. 4 и рис. 6 а), где значения этих модулей  и коэффициентов  и помечены точками и. Если левые части этих выражений рассчитать по методике, то результат будет соответствовать кривой 1 на рис. 5 а) и кривой 3 на рис. 5 б).

Кривая 1 перенесена на рис. 6 б) и обозначена символом  (повернута по горизонтали на ). Кривая для коэффициента сравнивается с кривой для отношения секущих модулей или податливостей . Это отношение называется далее «текущей разномодульностью». Кривая 3 рис. 5 б) аналогично представлена кривой  на  рис. 6 б). Если допустить, что , то при  для искомых модулей можно принять следующие значения: .  

Используя (31) и первые равенства соотношений (13) и (14), определяются приближенные значения для среднего и среднеквадратического модулей:

Подобные действия позволяют при  определить .  Тогда по (13) и (14) можно найти приближенные значения характеристик при обобщенном сжатии:

Таким образом, соотношения (31), (32) и (33) дают возможность приближенного  определения характеристик формоизменения по исходным данным для состояний  и. С их помощью показана связь тензорной нелинейности с  «текущей разномодульностью»итем самымнайдена связь модулей или податливостей в направлении главных касательных напряжений с модулями или податливостями, относящимся к базовым диаграммам .

В дополнение следует отметить, что коэффициенты  уточняют распределение деформаций сдвига «внутри» каждого напряженного состояния. Исследования этих коэффициентов  имеет большое практическое значение, так как они показывают, что с возрастанием деформации  ее распределение по направлениям главных касательных напряжений существенно отличается по сравнению деформациями тензорно – линейного подхода, поскольку из последнего следует, что  при любых значениях    и  . 

Зависимость коэффициентов  и от аргументов  и показана графиками на рис. 7 а) и б). Значения коэффициента  при чистом сдвиге (кривая 2 на рис. 7 а)), незначительно отличаются от единицы, что позволяет по графикам оценить влияние тензорной нелинейности на результаты вычислений. С уменьшением угла  поднимаются все кривые от 3  до 1, относящейся к растяжению. Их значения при этом соответственно изменяются с увеличением. На рис. 7 б) коэффициент  представляется кривыми, заметно возрастающими с увеличением деформации, и тем самым показывает, что его значения зависят, прежде всего, от степени взаимного различия базовых диаграмм  (рис. 1).

Рис. 7. Зависимость коэффициентов  и (а)  и б), соответственно) от деформации   и угла.  Кривая 1 – растяжение, 2 – чистый сдвиг, а 3 – сжатие

Графики этого коэффициента дают общее представление о тензорной нелинейности  материала, как с ростом деформации , так и угла . При деформации  все коэффициенты, в том числе   и   имеют значения, которые нельзя считать малыми при любом напряженном состоянии. Эти коэффициенты необходимо учитывать при решении не только физических, но и технических задач.

Сложившееся представление о том, что тензорная нелинейность связана только с эффектами Рейнольдса и Ривлина, следует считать ошибочным. Графическая иллюстрация  этих  коэффициентов  представляет интерес с теоретической точки зрения, поскольку они отражают поведение коэффициентов, входящих в материальные функции  уравнений В. В. Новожилова (4). К этому необходимо отметить, что обобщенный модуль сдвига  не является постоянным числом или единой кривой, не зависимой от угла, и  согласно его определению может быть найден при наличии диаграммы  непосредственно по результатам испытаний.

4 Вывод уравнений для описания эффекта дилатансии и сопоставление их с результатами испытаний

Для описания процесса деформирования при заданном напряженном состоянии в соответствии с уравнениями (22) помимо уравнений связи девиаторов требуются уравнения связи для шаровых частей тензоров напряжений и деформаций. Преобразования уравнений (2) приводит к уравнению связи между средним напряжением   

и инвариантами тензора  деформации:  - средней деформации и - интенсивности деформации. Уравнение включает в себя характеристики  формоизменения  и (с переменным множителем), а так же  - функцию инвариантов тензора  деформации, конкретный вид которой устанавливается, исходя из необходимости отражения особенностей поведения рассматриваемых материалов.

Уравнение (34) приводится к линейной, принятой В. В. Новожиловым, ,если первое слагаемое принять в виде, где и  - функции инвариантов тензора  деформации.  Первая,  при условии линейной упругости равна  - постоянной Ляме, а вторая  - модулю  упругости при объемном сжатии. Если  последнее выражение для функции    сократить на одно слагаемое , то из уравнения (34) следует нелинейные соотношения связи среднего напряжения с инвариантами тензора  деформации, предлагается принять в двух вариантах

При отработке  математической модели второй вариант найден более удобным для согласования теории с опытными данными, где  - параметр отражающий эффект Ривлина (дилатансии).

В частном случае, когда, материальные функции уравнений Рейнера принимают вид:,  и . Они могут быть графически представлены для состояний, при которых найдены характеристики формоизменения. Функция использовались М. Рейнером для описания эффектов второго порядка, в том числе Рейнольдса и Ривлина [4]. В представленных уравнениях ее роль выполняет среднеквадратический модуль.

Таким образом, материальные функции  и, наделенные физическим смыслом, позволили сделать сравнение уравнений М. Рейнера (1) и (2) с уравнениями В.В. Новожилова (3) и (4).Исходные уравнения Рейнера приводятся к виду, в которых связь между девиаторами напряжений и деформаций совпадает с уравнениями В.В. Новожилова, а уравнение для шаровой части тензора напряжений представляется нелинейным соотношением, где тензорная нелинейность также заметно себя проявляет через материальную функцию.

Из соотношений (35) следует, что формоизменение материалов может вызывать среднее напряжение. Рассматриваемый материал склонен проявлять эффект, который исследовал Ривлин [4], то есть дилатансию (в обобщенном смысле). Аналогичный эксперимент, после изготовления оснастки, был проведен и автором данной работы [10]. Для изучения этого эффекта была создана установка. С ее помощью были  проведены испытания цилиндра при стесненном кручении. Конструктивная схема такой установки приведена на рисунке 8 а) и б), которая включает в себя образец 1, представляющий собой полый цилиндр с внешним диаметром 90 мм, внутренним 20 мм и длинной 120 мм. Цилиндр жестко соединен с фланцами 5 и 6.

При деформации кручения продольная деформация сохранялась нулевой, что  обеспечивается сердечником 2 фланца 6, шарнирно связанного с силоизмерителем. Основная деталь последнего выполнена в виде двухопорной балки 3 с тензодатчиками, которые регистрирует осевое усилие,вызванное кручением. К верхнему фланцу 5 закреплен диск 7, с помощью которого создается крутящий момент грузами 10 и тросами 8, перекинутыми через блоки 9. Значения усилия  по результатам испытаний показаны на рис. 9  и значения модуля  (МПа)  в зависимости от интенсивности деформации; значения среднего напряжения (МПа) с множителем 20 по своду цилиндра. Из-за ползучести значение усилия возрастало. Однако все точки укладывались на одну кривую близкой к сплошной линии, соответствующей расчету, который основан на предположении о линейном изменении интенсивности деформации  по своду цилиндра.

После определения среднеквадратического модуля (пунктирная линия), найденного по описанной выше методике, проводился расчет среднего напряжения  по соотношению (35) при  и напряжении .  По напряжению  вычислялось осевое усилие, соответствующее каждой ступени нагружения. Сравнение показывает качественное и количественное согласие расчета с результатами опыта. Проведенный эксперимент обнаружил эффект Ривлина, который подтвердил нашу гипотезу о том,  что тензорная нелинейность ВНП проявляется  даже при деформациях менее 10 %.

Преобразования, проведенные выше для определения среднего напряжения, выполнены и для уравнений (1), из котороговытекает связь объемной деформации с инвариантами напряженного состояния

Она приводится к линейной связи , и нелинейным, при использовании  материальных функций  и  , подобных соотношениям (35)

Для практического использования оказалось более удобным второе, где  -параметр разрыхления. Объемная деформация представлена в виде двух составляющих: . Первое,  - представляет деформацию, зависящая от среднего напряжения, где - объемная податливость. Второе слагаемое в (37) отражает эффект разрыхления (дилатансии) [4, 10]. Для более точного  согласования результатов испытаний и расчетов необходимо, чтобы параметр, характеризующий склонность среды к разрыхлению, был величиной переменной

где   константы, (для ВНП), а параметр, характеризующий вид простого нагружения.

На рис. 10 а) показаны пять графиков. Кривая 3 -  представляет отношение деформации разрыхления к интенсивности деформации  - интенсивность дилатансии при растяжении, кривая 2 -  интенсивность дилатансии  при сдвиге, кривая 4 -  при сжатии, а кривая 1 - иллюстрирует результаты опытов, полученных с помощью дилатометра, а именно интенсивности объемной деформации. Поскольку исходный коэффициент поперечной деформации близок к 0,5, поэтому интенсивность   можно сравнивать с интенсивность дилатансии. Кривая 5 иллюстрирует изменение параметра тензорной нелинейности  от деформации. Эти графики показывают, что интенсивность дилатансии качественно изменяется так же, как и параметр тензорной нелинейности.

Рис. 10. Зависимость интенсивности дилатансии  и параметра от деформации: а) кривая 1-  опыт, 2 -   при сдвиге, 3 -  при растяжении, 4 -  при сжатии, кривая 5 -  (с множителем 0,2); б) кривая 1 -  зависимость  параметра (с множителем 0,1) и кривая 2 - интенсивности дилатансии  от угла

 На рис. 10 б) показан график 2 для зависимости интенсивность дилатансии  и  кривая 1 для параметра  от угла . Сходство кривых указывает на то, чтоодной из основных причин, вызывающих тензорную нелинейность, является разрыхление, а  различие в поведении этих кривых объясняется различием их аналитических выражений, как функций от угла .

Наиболее ярко тензорная нелинейность проявляется при описании технических характеристик, рассчитываемых по соотношениям (23) и (24). При этом секущие модули упругости в направлении главных напряжений  приобретают разные значения  при постоянной деформации, а число коэффициентов поперечных деформаций становится шесть, что отражено в работах [13, 14]. На рис. 11 а) показаны графики их зависимости от интенсивности деформации, а на рис. 11 б) от угла вида напряженного состояния.

Коэффициенты поперечных деформаций на рис. 11 а) относятся к углу   С ростом «текущей разномодульности» они изменяют свои значения, однако их сумма при деформации   стремится к значению. Коэффициенты поперечных деформаций на рисунке 11 б) относятся к постоянной деформации . 

Рис. 11. а) Зависимость коэффициентов  поперечных  деформаций  от интенсивности  деформации   ; б) зависимость  от угла

С практической точки зрения представляют интерес поведение модулей упругости и  коэффициентов поперечных деформаций, которые определены в процессе испытаний, для сравнения их с результатами расчетов. На  рис. 12 а) приведены графики для модулей  упругости  от деформации  при растяжении. Кривая  1 для  при и кривая 2 для   , а кривая 3 для  при представляют теорию.С ростом значения параметра  секущие модули в направлении, перпендикулярном свободным площадкам, возрастают. Кривая 4 для модуля  представляет опытные данные.

На  рис. 12 б) приведены графики для  коэффициента поперечных деформаций. По результатам расчетов построены графики: кривая 1 при  и  2  при, которыепредставляют теорию. Сравнение кривых 1 и 2  показывает, что при отсутствии учета разрыхления по второму соотношению (37) приблизиться к описанию опытных значений коэффициента  невозможно, если учитывается только нелинейность формоизменения. Кривая 3 - относится к результатам испытаний.

Рис. 12. Зависимость модулей  от деформации  при растяжении: а) кривая 1 для , кривая 2 и кривая 3 - теория, а кривая 4 - опытные данные;
б) зависимость    от деформации  при растяжении: кривая 1 и прямая 2 – результаты расчета , а кривая 3 -  опытные данные

Для коэффициента  при растяжении, принимая: , , соотношение (23) приводится к следующему выражению

В этом выражении параметр  резко снижает числитель, а еще в большей  степени повышает знаменатель. Этим объясняется существенное изменение положение прямой линии 2  при  на рисунке 12 б)  по сравнению с кривой 1  при  (сплошная линия) при учете деформации разрыхления, .

Подобное оценочное выражение можно получить и для коэффициента  и объяснить изменение положения кривой 1 на рис. 13 б). Новое положение кривых  приближается к реальному поведению ВНП при испытаниях, которое существенно зависит от значений коэффициентов  и  . На рис. 13 а) приведены графики для модулей  упругости   от деформации  при сжатии. Кривые 1 для   при , кривая 2 для  при , и кривая 3 для  при  - представляют теорию, а кривая 4 для опыт; б) зависимость коэффициента  от  при сжатии: кривая 1 при,прямая 2  при  представляют теорию, а кривая 3  опыт.

Рис. 13. Зависимость модулей  от  при сжатии: а) кривая 1 для  при , кривая 2  и кривая 3 представляют теорию, а кривая 4 для - опыт;
б) зависимость коэффициента  от  при сжатии: кривая 1 и прямая 2  - теория, а кривая 3 -  опыт

Влияние деформации разрыхления на технические характеристики показано путем сравнения с результатами испытаний с измерением поперечной деформации при растяжении и сжатии. Принятая связь объемной деформации с напряжениями в форме (37), вполне оправдана. Таким образом, тензорная нелинейность проявляется и на технических характеристиках, что  расширяет возможности для последующих экспериментальных исследований деформационных свойств структурно - неоднородных материалов и других различных сред с зернистой структурой.

В заключение по данной публикации следует отметить, что все ее содержание было направлено на разработку математической модели, основанной на экспериментальных исследованиях автора высоконаполненного полимерного материала, как представителя структурно-неоднородных сред. Исследования проводились по программе, призванной показать проявления тензорной нелинейности при деформации материала, сопровождающейся «текущей разномодульностью». Математическая модель структурно – неоднородных материалов объединена программой, с помощью которой отработаны все алгоритмы и проведены численные исследования.

За прошедший год автору была предоставлена возможность выступить с докладами по данной теме на кафедрах ведущих университетов. Вопросы и обсуждения позволили найти более точные выводы и определения, за что автор приносит благодарность руководителям кафедр и семинаров и всем слушателям.

Заключение

Основные результаты.

        а) Дано определение тензорной нелинейности как эффекта, проявляющегося при деформации структурно-неоднородных сред, учет которого способствует установлению более точной связи девиаторных и шаровых частей тензоров напряжений и деформаций. Выполнено преобразованиетензорно - нелинейных уравнений к виду, в котором материальным функциям придан физический смысл и возможность их определения по результатам испытаний.

б) Проведены экспериментальные исследования наполненных полимерных  материалов  с целью изучения особенностей их деформационных свойств, а так же испытания по исследованию связи среднего напряжения и объемной деформации при формоизменении (дилатансии в обобщенном смысле, то есть разрыхления или изменения среднего напряжения при деформациях формоизменения).

в) Проведена обработка результатов испытаний и подготовка исходных данных для расчетных работ, разработана методика восстановления материальных функций по результатам испытаний, располагая базовыми диаграммами.  Показано,  что для состояний и характеристики формоизменения определяются по исходным данным, но приближенно. 

г) Дано преобразование тензорно-нелинейных уравнений к виду,  характерному для описания анизотропных материалов, получены алгоритмы для расчета технических характеристик, разработаны расчетные формулы, связывающих характеристики упругости в направлении главных напряжений, разработаны расчетные формулы, связывающие характеристики упругости, при наличии начальной разномодульности.

         д) Проведен вывод уравнений связи среднего напряжения с инвариантами тензора  деформаций и средней деформации с инвариантами тензора  напряжений. Показано влияние  деформации разрыхления на деформационные характеристики материала и возможность ее учета при их описании, а так же установлена связь разрыхления с тензорной нелинейностью. Представлена возможность учета эффектов Рейнольдса и Ривлина.

Список литературы

1.  ReinerM. Amathematicaltheoryofdilatancy // Am. J. Math. 1945. Vol. 67, no. 3. P. 350-362.

2. Новожилов В.В. О связи между напряжениями и деформациями  в нелинейно-упругой среде // Прикладная математика и механика. 1951. Т.15, вып. 2. С. 183-194.

3. Георгиевский Д.В. Тензорно нелинейные сдвиговые течения: материальные функции и диффузионно-вихревые решения // Нелинейная динамика. 2011. Т. 7, № 3. С. 451-463.

4.  Рейнер М. Реология: пер. с англ. / под ред. Э.И. Григолюка. М.: Наука, 1965. 223 с.

5. Комков К.Ф. Об уравнениях связи деформаций с напряжениями для материалов, оказывающих различное сопротивление растяжению и сжатию // Изв. ВУЗов. Машиностроение. 1989. № 7. C. 3-6.

6. Ломакин Е.В., Работнов Ю.Н. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного тела //  Изв. АН СССР.  Механика твердого тела. 1978. № 6. С. 29-34.

7. Комков К.Ф. К определению параметров Лоде при обработке результатов испытаний // Изв. РАН. Механика твердого тела.  2005. № 2. С. 126-135.

8. Дэвис Е. Рост напряжений с изменением деформаций и зависимость ”напряжения - деформации“ в пластической области для меди при сложном напряженном состоянии // Теория   пластичности : cб. статей : пер.  с   англ., франц., нем. / под   ред.  Ю.И. Работнова. М.: Издательство иностранной литературы, 1948. С. 336-374.

9. Комков К.Ф. О физическом смысле фазы подобия девиаторов и возможности ее определения по результатам испытаний  при простых напряженных состояниях // Вестник МГТУ им. Баумана.  Сер.  Естественные науки. 2008. №3 (30). С. 75-83.

10. Комков К.Ф. Особенности упругих свойств высоконаполненных полимерных материалов // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2008. №3 (72). C. 3-13.

11.  Лехницкий С.Г.  Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 415 с.

12. Комков К.Ф. Восстановление закономерности изменения вида деформируемого состояния и сдвиговых характеристик пластических материалов // Вестник МГТУ им. Баумана. Сер. Естественные науки. 2009. №2 (33). С. 81-91.

13. КомковК.Ф. Описание анизотропии изотропных материалов, вызванной пластической деформацией // Изв. РАН. Механика твердого тела.  2008. № 1. С. 147-153.

14. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977. 831 с.