НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 533.9

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

hnoimahi@yandex.ru

khves@power.bmstu.ru

Введение

Основную роль в переносе тепла и частиц в термоядерной плазме играют турбулентные процессы. Вследствие них транспорт энергии и частиц в плазме существенно отличается от предсказаний неоклассической теории, основанной на анализе процессов столкновений частиц друг с другом, как и в классической кинетической теории газов. В итоге, в плазме имеет место существование так называемого аномального транспорта, связанного с флуктуациями плотности, температуры и электрического поля. Очень важно понимание турбулентного состояния плазмы и процессов подавления этой турбулентности, так как возникающие флуктуации  напрямую связаны с одним из главных параметров – временем удержания плазмы.

Одной из главных причин, вызывающих турбулентность и аномально большой перенос энергии и частиц плазмы [1, 2], является распространение ионных и электронных температурно-градиентных дрейфовых электростатических (ITG и ETG) волн. Причиной возникновения этих типов волн служит наличие градиентов плотности и температуры в плазме. Обнаружилась эта связь благодаря тому, что локальные характеристики турбулентного состояния, такие как частоты и размеры возмущений, совпадают с частотами и длинами ITG волн. Появились новые вопросы, а также возник термин «дрейфовая турбулентность» [3].

В связи с открытием в 1982 году [4] перехода от режима слабого удержания плазмы (L-режим) к сильному (H-режим), появилось множество экспериментальных и теоретических работ по исследованию образования внутреннего транспортного барьера (ITB). Это узкая область, внутри которой возникает сильное неоднородное радиальное электрическое поле (шир), впервые изученное в работах [5, 6]. Вследствие этого устанавливаются такие же сильные и неоднородные полоидальные потоки плазмы (шир скорости), которые, в свою очередь, ведут к резкому подавлению турбулентности, то есть к существенному уменьшению величин флуктуаций плотности и температуры. В итоге, существенно уменьшается турбулентный транспорт, и поэтому такое горение плазмы названо H-режимом.

На данный момент представлены две теоретические модели по исследованию H-режима. Первая из них, показанная в работах [7, 8], изучает траекторию относительного движения двух жидкостных элементов. Далее она развивается в работе [9]. Текущие исследования показывают уменьшение флуктуаций плотности из-за наличия шира электрического поля в зависимости только от времени декорреляции и спектра волн. Вторая модель, представленная в работах [10, 11], изучает турбулентные вихри, искажающие свою форму под действием шира скорости и, как следствие, приводящие к уменьшению флуктуаций плотности.

В указанных выше моделях можно усмотреть некоторое противоречие: сначала говорится о турбулентном вихре или двух элементах жидкостях, а затем при формулировании уравнений используются параметры, характеризующие волну в плазме. Также не существует никаких доказательств существования вихрей в плазме.

С появлением нового способа экспериментального наблюдения флуктуаций плотности, выявляется новая двумерная картина распределения их возмущений. Так в работе [12] (см. также http://fusion.gat.com/diii-d/BESMovies)  используется метод спектроскопии лучевой эмиссии, с помощью которого можно усмотреть три интересных факта. Во-первых, наблюдаемые флуктуации плотности имеют примерно одинаковые размеры и хорошо упорядочены. В частности, наблюдается попеременное появление участков с положительными и отрицательными значениями отклонений от невозмущённой плотности. Во-вторых, обнаружено движение этих флуктуаций в полоидальном направлении со скоростью, равной фазовой скорости дрейфовой волны. В‑третьих, при переходе от L-режима к H-режиму дрейфовая волна продолжает существовать, уменьшает свою амплитуду и не изменяет свою длину. Поэтому в данной работе рассматривается именно воздействие неоднородной скорости на дрейфовую волну, а не на вихри.

1. Анализ свойств дрейфовых волн

Для того, чтобы решить задачу исследования поведения дрейфовых волн при наличии шира скорости и при условии конечности амплитуды, необходимо, прежде всего, перейти к более подробному анализу свойств дрейфовых волн. Имеется в виду переход  от существующего линейного приближения предельно малых амплитуд к анализу дрейфовых волн в приближении конечных амплитуд. Дело в том, что переход к учёту конечности амплитуды волны позволяет установить влияние на амплитуду волны внешних факторов, таких как, например, шир скорости, а также определить нелинейные свойства волны.

Рассмотрим две особенности дрейфовых волн, которые, в первую очередь, необходимо учитывать с точки зрения анализируемой здесь задачи.

Первой из этих особенностей является то, что дрейфовые волны формируются и развиваются при наличии градиентов плотности и температур, направление которых перпендикулярно направлению распространения волны. Это ведёт к возникновению периодической неоднородности плотности и температуры вдоль направления распространения волны. В приближении конечной амплитуды учёт этих неоднородностей может приводить к тому, что их характеристики сравниваются по порядку величины с заданными макроскопическими неоднородностями плазмы. Последнее должно иметь своим следствием нарушение условий применимости линейного приближения, используемого при решении системы уравнений Власова – Пуассона. Таким образом, в рассматриваемом приближении добавляется важный фактор, который необходимо учитывать, – гармоническое изменение плотности плазмы и температуры вдоль распространения волны (здесь рассматривается только перпендикулярная по отношению к внешнему магнитному полю составляющая дрейфовой волны).

Второй особенностью является принципиальная необходимость учёта экспоненциального нарастания амплитуды ITG волн. Это связано с тем, что частота и инкремент нарастания таких волн близки по величине, и, более того, в ряде случаев инкремент нарастания волны оказывается больше её частоты. До сих пор изучались либо устойчивые, либо слабо затухающие волны, нелинейную динамику которых можно было рассматривать в приближении постоянной амплитуды.

Дальнейший анализ проводится в предположении, что частота ω, длина λ и инкремент нарастания γ волны остаются постоянными и равны значениям, полученным из решения задачи, рассматривающей дрейфовые волны в линейном приближении. При анализе нелинейных волн предположение о постоянстве этих величин является обычным, за исключением инкремента.

Постоянство величины γ неизбежно приводит к тому, что волна должна распасться по достижении некоторого значения амплитуды.

Следует отметить, что существует большое число работ, в которых рассматриваются процессы насыщения нелинейных волн, соответствующие условиям, при которых величина γ уменьшается со временем, достигая нуля при некотором значении амплитуды волны. Здесь этот вариант не рассматривается.  

Итак, в дальнейшем  учитывается конечность амплитуды волны, её экспоненциальный рост со временем и неоднородность плотности плазмы, электронной и ионной температур вдоль направления распространения волны. Именно этот эффект - локальная продольная неоднородность гидродинамических параметров в условиях отсутствия вызвавшей эти неоднородности волны - рассматривается ниже как результат воздействия дрейфовой волны на плазму.

Таким образом, наблюдаемая турбулентность плазмы представляется в циклическом зарождении волны, росте амплитуды и последующем распаде. Флуктуации плотности плазмы определяются напрямую через конечную амплитуду волны, зафиксированную в момент распада, согласно поставленному условию, а наличие шира скорости, как будет показано ниже, приводит к уменьшению конечной амплитуды.

2. Гидродинамический метод

На рис. 1 представлена выбранная система координат, связанная с дрейфовой волной. Одиночная дрейфовая волна с волновым числом k_y распространяется вдоль оси Oy (полоидальное направление) в плоском слое плазмы, параллельном xOy. Плазма находится в однородном магнитном поле B₀, направленном по оси Oz (тороидальное направление), и имеет постоянные вдоль оси Ox градиенты плотности (dn₀/dx), электронной (dT_e0/dx) и ионной (dT_i0/dx) температур.

Рис. 1 – Положение волны в пространстве

Шир скорости представляет из себя профиль скорости в направлении оси Oy, заданный через уравнение (С – некоторая константа, шир)

v_y = Cx.                                                     (1)

Принято, что в начальный момент времени зарождается невозмущённая волна. В задаче применяется метод Лагранжа. Волна разбивается на элементы, положение в плоскости которых задаёт все исследуемые параметры плазмы. В начальный момент времени с равномерным шагом по оси Oyвыбираются элементы, лежащие на линии, удовлетворяющей уравнению невозмущённой волны (b – начальная амплитуда)

x = b·sin(k_yy).                                                (2)

В модели положено постоянство заданного градиента плотности (dn₀/dx) во времени. Данное допущение позволяет определить полную плотность n около выбранного элемента с координатой x по следующему уравнению

n = n₀ + (dn₀/dx)∙x.                                            (3)

Тогда наблюдаемые в экспериментах флуктуации плотности неизменно будут соответствовать амплитуде волны и в любой момент времени связаны с положением волны по формуле

δn = ­–(dn₀/dx)∙x.                                           (4)

Для определения новых координат выбранных элементов волны через малый шаг времени недостаточно только знания скоростей v_x по оси Ox. Данную скорость предложено определять с помощью формулы Больцмана

.                                       (5)

Здесь n₀ – невозмущённая плотность, q – заряд иона, φ – электрический потенциал в точке, k_B – постоянная Больцмана, T_i – температура ионов.

Распределение скорости v_x определяется через электрическое поле E_y, которое в свою очередь связано с электрическим потенциалом φ:

                                                                .                                       (6)

В итоге, через малый шаг времени ∆t координаты элементов, характеризующих форму волны, с учётом инкремента нарастания изменятся следующим образом:

                                      (7)

Вычислительная схема сводится к следующему циклу по определению положений на плоскости xOy выбранных элементов волны. В начальный момент времени невозмущённая гармоническая волна разбивается на элементы. После, согласно начальному условию (2), задаются координаты x и y всех элементов. Далее определяется распределение плотности n на плоскости xOy по выражению (3). Затем из формулы Больцмана (5) вычисляется распределение электрического потенциала φ. Скорость v_xвыбранных элементов задаётся по уравнению (6), а скорость v_y– по (1). Через малый шаг времени Δt согласно выражению (7) определяются новые положения элементов волны, и цикл становится замкнутым. На основе приведённой схемы разработана компьютерная программа. С помощью неё можно определить положение элементов волны и, следовательно, распределения плотности n и её флуктуации δn (по выражению (4) ) в любой момент времени.

Если положить γ = 0, то волна будет обладать постоянной амплитудой и координаты элементов волны должны удовлетворять уравнению

x = b·sin(ωt + k_yy).

С одной стороны скорость v_x должна изменяться так, чтобы координата x выбранного элемента волны удовлетворяла последнему уравнению, но с другой стороны скорость v_x должна удовлетворять выражению (6). Это возможно только тогда, когда частота будет связана выражением

.

Рассматриваемая задача зависит только от рассмотренных параметров плазмы и  таких характеристик волны, как инкремент нарастания, частота и длина волны. Развитие волны полностью определяется только начальным состоянием. На рис. 2 с помощью компьютерной программы показано искажённое состояние формы волны из-за наличия возмущающего фактора шира скорости.

Рис. 2 – Искажённая форма волны

3. Результаты

При исследовании дрейфовой волны с учётом конечности амплитуды  при помощи компьютерной программы выявлено, что с течением времени рост амплитуды волны приводит к сильной локальной продольной неоднородности плазмы, выраженной в сильном нарастании значения градиента плотности (dn/dy), сравнимого с заданным значением (dn₀/dx). В модели положено, что именно это и приводит к разрушению волны. В модели предполагается, что наблюдаемые в экспериментах флуктуации плотности соответствуют тем флуктуациям, которые определяются в момент разрушения волны согласно условию распада. Принято два критерия распада. Первый заключается в том, что в момент распада устанавливается равенство среднего по длине волны значения продольного градиента (dn/dy) с заданным градиентом (dn₀/dx); второй – в ограничении максимального локального значения продольного градиента, связанного с опрокидыванием волны.

При рассмотрении первого критерия установлено, что при больших значениях шира C возникают настолько большие значения продольного градиента концентрации (dn/dy), что нарушается условие применимости формулы Больцмана, так как величина скорости v_x становится предельно большой. Тогда в действие приходит второй критерий распада.

При решении задачи установлено, что при отсутствии шира скорости конечная амплитуда зависит только от значения длины волны λ и прямо пропорциональна ей. При наличии шира скорости влияние всех параметров на конечную амплитуду выражается следующим образом:

а) выбор значения начальной амплитуды не влияет на конечную, при условии, что b < 0,1λ,

б) конечная амплитуда прямо пропорциональна длине волны,

в) чем больше значение инкремента нарастания γ, тем больше конечная амплитуда, поэтому положительного влияния шира скорости меньше,

г) частота волны ω влияет слабо, при наблюдаемом экспериментально диапазоне частот конечная амплитуда меняется в пределах 20 %.

Также обнаружилась следующая интересная закономерность: существует предельное значение шира C, при котором отсутствует его влияние.

На рис. 3 представлено влияние шира скорости на флуктуации концентрации плазмы. Здесь величина Θ – отношение квадрата среднего по времени (по длине волны) значения флуктуаций концентрации в случае без и с широм: Θ = <δn>²/<δn_С=0²>. На рисунке круглыми жирными точками отмечены экспериментальные данные, взятые из работы [13]. Тонкая кривая получена по теоретической модели авторов Zhang Y.Z. и Mahajan S.M. [9]. Толстая линия получена по предложенной в статье теоретической модели с помощью компьютерной программы. При расчёте использовались типовые значения частоты и инкремента нарастания: ω ≈ γ ≈ 10⁶ с^‑1.

Рис. 3 – Сравнение результатов

Заключение

Предложенная модель имеет ряд преимуществ в сравнении с существующими в настоящее время. Во-первых, она отличается физической ясностью и впервые раскрывает механизм возникновения флуктуаций и особенностей их подавления. Это позволило впервые определить теоретически абсолютные величины флуктуаций гидродинамических величин (плотности плазмы, электронной и ионной температур). Во-вторых, существующая модель предоставляет результаты по относительным величинам флуктуаций, в то время как в экспериментах наблюдают абсолютные величины. С помощью приведённой модели оцениваются именно абсолютные значения величин флуктуаций плотности, что позволяет провести корректно сравнение теории и эксперимента. В-третьих, впервые изучено влияние на характер подавления флуктуаций величин, характеризующих дрейфовую волну. В-четвёртых, авторами разработан новый и весьма эффективный метод по исследованию неустойчивой дрейфовой волны с учётом конечности амплитуды, обладающий небольшой универсальностью и перспективами по дальнейшему изучению состояния турбулентности плазмы.

Списоклитературы

1. Conway G.D. Turbulence measurements in fusion plasmas // Plasma Physics and Controlled Fusion. – 2008. – V. 50, no. 12. – P. 124026. . DOI:10.1088/0741-3335/50/12/124026

2. Chapter 2: Plasmaconfinementandtransport / E.J. Doyle, W.A. Houlberg, Y. Kamada, V. Mukhovatov, T.H. Osborne, A. Polevoi, G. Bateman, J.W. Connor, J.G. Cordey, T. Fujita, X. Garbet, T.S. Hahm, L.D. Horton, A.E. Hubbard, F. Imbeaux, F.Jenko, J.E. Kinsey, Y. Kishimoto, J. Li, T.C. Luce, Y. Martin, M. Ossipenko, V. Parail, A. Peeters, T.L. Rhodes, J.E. Rice, C.M. Roach, V. Rozhansky, F. Ryter, G. Saibene1, R. Sartori, A.C.C. Sips, J.A. Snipes, M. Sugihara, E.J. Synakowski, H. Takenaga, T. Takizuka, K. Thomsen, M.R. Wade, H.R. Wilson, ITPATransportPhysicsTopicalGroup, ITPAConfinementDatabase, ModellingTopicalGroup, ITPAPedestal, EdgeTopicalGroup// Nucl. Fusion. – 2007. – Vol. 47.  – P. 18-127. doi:10.1088/0029-5515/47/6/S02

3. Tynan G.R., Fujisawa A., McKee G. A review of experimental drift turbulence studies // Plasma Phys. Control. Fusion. – 2009 – Vol. 51, no. 11. – P. 11301. doi:10.1088/0741-3335/51/11/113001

4. Regime of Improved Confinement and High Beta in Neutral-Beam-Heated Divertor Discharges of the ASDEX Tokamak / F. Wagner, G. Becker, K. Behringer, D. Campbell, A. Eberhagen, W. Engelhardt, G. Fussmann, O. Gehre, J. Gernhardt, G.V. Gierke, G. Haas, M. Huang*, F. Karger, M. Keilhacker, O. Klüber, M. Kornherr, K. Lackner, G. Lisitano, G.G. Lister, H. M. Mayer, D. Meisel, E. R. Müller, H. Murmann, H. Niedermeyer, W. Poschenrieder, H. Rapp, H. Röhr, F. Schneider, G. Siller, E. Speth, A. Stäbler, K.H. Steuer, G. Venus, O. Vollmer, Z. Yü // Phys. Rev. Lett. – 1982. – Vol. 49, no. 19. – P. 1408-1411. DOI:10.1103/PhysRevLett.49.1408

5. Groebner R.J., Burrell K.H., Seraydarian R.P. Role of edge electric field and poloidal rotation in the L-H transition // Phys. Rev. Lett. – 1990. – Vol. 64. – P. 3015-3018. DOI: 10.1103/PhysRevLett.64.3015

6. Ida K., Hidekuma S., Miura Y., Fujita T., Mori M., Hoshino K., Suzuki N., Yamauchi T., JFT-2M Group. Edge electric-field profiles of H-mode plasmas in the JFT-2M tokamak // Phys. Rev. Lett. – 1990. – Vol. 65. – P. 1364-1367. DOI: 10.1103/PhysRevLett.65.1364

7. Biglari H., Diamond P.H., Terry P.W. Influence of sheared poloidal rotation on edge turbulence // Phys. Fluids B. – 1990. – Vol. 2, no. 1. – P. 1. http://dx.doi.org/10.1063/1.859529

8. Shaing K.C., Crume E.C. Jr, Houlberg W.A. Bifurcation of poloidal rotation and suppression of turbulent fluctuations: A model for L-H transition in tokamaks // Phys. Fluids B.-  1990. – Vol. 2, no. 6. – P. 1492-1498. http://dx.doi.org/10.1063/1.859473

9. Zhang Y.Z., Mahajan S.M. Edge turbulence scaling with shear flow // Phys. Fluids B. – 1992. – Vol. 4, no. 6. – P. 1385. http://dx.doi.org/10.1063/1.860095

10. Itoh K., Itoh S.-I. The role of the electric field in confinement // Plasma Phys. Control. Fusion. – 1996. – Vol. 38. – P. 1. doi:10.1088/0741-3335/38/1/001

11. Diamond P.H., Hasegawa A., Mima K. Vorticity dynamics, drift wave turbulence, and zonal flows: a look back and a look ahead // Plasma Phys. Control. Fusion. – 2011. – Vol. 53. – P. 124001. doi:10.1088/0741-3335/53/12/124001

12. Plasma Turbulence Imaging via Beam Emission Spectroscopy in the Core of the DIII-D Tokamak / G.R. McKee, R.J. Fonck, D.K. Gupta, D.J. Schlossberg, M.W. Shafer, R.L. Boivin, W. Solomon // Plasma Fusion Res. – 2007. – Vol. 2. – P. S1025.

13. Scaling of plasma turbulence suppression with velocity shear / J.A. Boedo, D.S. Gray, P.W. Terry, S. Jachmich, G.R. Tynan, R.W. Conn, TEXTOR-94 Team // Nucl. Fusion. – 2002. – Vol. 42. – P. 117. doi:10.1088/0029-5515/42/2/301