НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 532.591+537.84

Россия, «Московский государственный университет приборостроения и информатики»

ovchinnikigor@yandex.ru

ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] в рамках теории магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью впервые была показана возможность распространения быстрой и медленной магнитозвуковых волн, а так же волны альфвеновского типа. Наиболее распространенной является модель магнитной жидкости с внутренним вращением [2, 3]. В работе [4] было показано существование волны альфвеновского типа наряду со звуковой волной в модели магнитной жидкости с внутренним вращением. Для других моделей магнитной жидкости получается распространение одной гидродинамической волны [5].

1. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ФЕРРОГИДРОДИНАМИКЕ С ВНУТРЕННИМ ВРАЩЕНИЕМ

В [2, 3] предложена система уравнений для магнитной жидкости с внутренним вращением. Дисперсионное уравнение для гидродинамических волн в данной жидкости было получено и решено для двух частных случаев распространения волн параллельно и перпендикулярно внешнему магнитному полю в [4]. Целью настоящей работы является вывод дисперсионного уравнения по методу [6-8] и получение решений для всех значений угла между направлением распространения волны и внешним магнитным полем, а так же численные расчеты анизотропии скорости ультразвука.

Система уравнений для магнитной жидкости с внутренним вращением [2-4] включает в себя

уравнение непрерывности

,

уравнение  сохранения импульса

,

уравнение эволюции намагниченности

,                             (1)

уравнение эволюции объёмной плотности момента импульса

,

магнитостатические  уравнения Максвелла

,

.

Здесь  - гидродинамическая скорость магнитной жидкости; ;  - объёмная плотность момента импульса;  - плотность магнитной жидкости;  - давление;  - момент инерции частиц, содержащихся в единице объёма магнитной жидкости;  - плотность твёрдой фазы; - объем частицы магнетита, - динамическая вязкость магнитной жидкости со сферическими твердыми частицами по формуле А. Эйнштейна ( - вязкость жидкости–носителя),  - объемная доля частиц магнетита, которая является безразмерной величиной меньше единицы;  - броуновское время ориентационной релаксации магнитного момента;  - время затухания собственного вращения малой частицы в вязкой жидкости, - диаметр частицы магнетита.

Магнитные наночастицы находятся в однодоменном состоянии и слабоконцентрированная магнитная жидкость подобна суперпарамагнитному газу, поэтому равновесная намагниченность  в однородном стационарном магнитном поле  описывается формулой Ланжевена [9]

,                                                   (2)

где ,  - намагниченность насыщения магнетита, - константа Больцмана, - температура по абсолютной шкале.

Для исключения объемной плотности момента импульса среды  в [4,10] использовано условие , поэтому из уравнения эволюции намагниченности системы (1) в линейном приближении (, ) следует, что

,

где  - магнитная восприимчивость.

Линеаризованная система уравнений принимает вид [4]

,

,                                (3)

,

,

.

Рассмотрим распространение однородных плоских волн. Поскольку в системе (1) учитываются диссипативные процессы, то волновой вектор представлен в комплексном виде [6-8]

где  - мнимая единица, - волновое число и - коэффициент поглощения. Считаем, что покоящаяся магнитная жидкость  находится в бесконечном объёме во внешнем магнитном поле , направленном вдоль оси . Волновой вектор  находится в плоскости  и образует угол  с осью . Распространение волн малой амплитуды приводит к возмущению плотности, скорости и  намагниченности, т. е. ,, и .

Решения для возмущений переменных  (штрихи пропущены) пропорциональны , поэтому система уравнений (3) в матричной форме примет вид

,                                                                                    (4)

где  - вектор состояния, компонентами которого являются амплитудные значения возмущений плотности , скорости  и намагниченности ,  - единичная матрица.

Ненулевые компоненты матрицы  перечислены ниже:

;  ; ; ;

; ; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; .

Здесь обозначено  - дифференциальная магнитная восприимчивость;  - феноменологическое время релаксации перпендикулярной к  и  компоненты намагниченности; - скорость звука в магнитной жидкости без внешнего магнитного поля;  и  являются равновесными значениями для невозмущённого состояния.

Приравнивая к нулю определитель матрицы (4), получаем уравнение, которое, очевидно, расцепляется на два дисперсионных уравнения

,

; ; ; .

Индекс  у величин , , ,  и фазовой скорости  принимает значения  для быстрой магнитозвуковой волны,  для медленной магнитозвуковой волны и  для модифицированной волны альфвеновского типа.

Сначала рассмотрим уравнение, которое является линейным относительно неизвестного . Данное дисперсионное уравнение описывает распространение возмущений  и , которые перпендикулярны волновому вектору и магнитному полю ,

.                                                                           (5)

Выражение (5) определяет модифицированную волну альфвеновского типа [4]. Из дисперсионного уравнения (5) получаются выражения для фазовой скорости и коэффициента поглощения

,

(6)

,

где

,

.

Без учета сдвиговой вязкости из (6) получаются выражения для фазовой скорости и коэффициента поглощения

,

(7)

,

В пределе  из (7) получается волна альфвеновского типа  и  [4], т. е. угловая зависимость получается такая же, как у волн данного типа в магнитной гидродинамике и феррогидродинамике с вмороженной намагниченностью [5]. Для  у  есть расходимость, но  и волна не распространяется.

В случае большой вязкости модифицированная волна альфвеновского типа (6) переходит в  сдвиговую волну

,

(8)

.

Теперь рассмотрим дисперсионное уравнение, которое является квадратным для неизвестного  и описывает распространение возмущений величин  и ,

.                                                          (9)

Коэффициенты квадратного уравнения имеют вид

,

,

,

,

,

.

Решения уравнения (9) равны

,

где

.

Из последних соотношений следуют выражения для фазовой скорости

                                                                 (10)

и коэффициента поглощения волн

,

где

,

,

,

,

,

.

Таким образом, из дисперсионного уравнения (9) следует, что в магнитной жидкости с внутренним вращением распространяются еще два типа волн. По аналогии с магнитной гидродинамикой и феррогидродинамикой с вмороженной намагниченностью [5] назовем волну с большей фазовой скоростью быстрой магнитозвуковой волной, а с меньшей скоростью – медленной магнитозвуковой волной. Причем в выражениях для ,  верхний знак соответствует быстрой волне, а нижний - медленной волне. Теперь отмечаем, что полученные три типа волн обладают сложной зависимостью фазовых скоростей и коэффициентов поглощения от угла , т. е. анизотропией распространения.

В случае распространения волн параллельно полю, дискриминант является полным квадратом и дисперсионное уравнение (9) факторизуется в два независимых уравнения

,                                                                           (11)

.                                   (12)

Уравнение (11) описывает связанные осцилляции скорости и намагниченности, вектор поляризации которых перпендикулярен волновому вектору, внешнему магнитному полю и вектору поляризации модифицированной волны альфвеновского типа в данном случае. Скорость и коэффициент поглощения данной медленной волны являются такими же, как у модифицированной волны альфвеновского типа при . Можно утверждать, что параллельно магнитному полю распространяются две модифицированные волны альфвеновского типа с поляризациями по осям  и .

Уравнение (12) определяет осцилляции скорости и намагниченности, которые параллельны волновому вектору и внешнему магнитному полю, а так же плотности.

В случае распространения волн перпендикулярно полю, дискриминант так же является полным квадратом и дисперсионное уравнение (9) преобразуется в формулу

,

где равно нулю произведение двух сомножителей.

Приравнивая нулю первый сомножитель, получаем дисперсионное уравнение, которое определяет медленную волну с распространением возмущений  и

.

Из данного дисперсионного уравнения определяются фазовая скорость и коэффициент поглощения медленной волны

,

,

где

,

.

Данная медленная волна при большой вязкости переходит в сдвиговую волну (8).

В случае для малой вязкости фазовая скорость и коэффициент поглощения медленной волны имеют вид

,                                                              (13)

.

В отличие от волны альфвеновского типа медленная волна распространяется перпендикулярно внешнему магнитному полю.

Приравнивая нулю второй сомножитель получаем дисперсионное уравнение, которое определяет быструю волну с распространением возмущений , и ,

.

Решениями данного уравнения являются выражения для фазовой скорости и коэффициента поглощения быстрой волны

,

.

В случае малости стоксова коэффициента поглощения

,                                                                                      (14)

.                                                                              (15)

В пределе однородной жидкости , и поэтому . В случае малости стоксова коэффициента поглощения выражения для фазовой скорости и коэффициента поглощения быстрой волны тождественны (14-15) для всех значений угла . Фазовые скорости и коэффициенты поглощения медленной волны и модифицированной волны альфвеновского типа получаются как у сдвиговой волны (8) для всех значений угла .

2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Для численных расчетов использовались экспериментальные данные по анизотропии скорости ультразвука в магнитной жидкости EMG-605 при действии однородного  стационарного магнитного поля  кА/м [11]. Данная магнитная жидкость на основе воды с объемной концентрацией частиц магнетита  и плотностью  г/см³ производится компанией Ferrotec. Inc.  Номинальный диаметр частиц равняется  нм. Измерения анизотропии скорости ультразвука в [11] выполнялись при фиксированной температуре . Частота ультразвука была равной 4,37 МГц. В эксперименте [11] угол  варьировался в диапазоне . Намагниченность насыщения магнетита равна  Гс [9]. Рассчитанная по формуле Ланжевена намагниченность для этого случая равна  Гс. Величину скорости ультразвука в магнитной жидкости при отсутствии внешнего магнитного поля приняли равной . Для воды , поэтому вычисленные значения времен релаксации равны  и .

На рис. 1 изображена теоретическая кривая для скорости медленной волны по формуле (10) без учета вязкости в зависимости от угла . Данная волна проявляет анизотропию, причем скорость перпендикулярно магнитному полю больше, чем параллельно полю. Это очевидно, так как в пределе  из (13) получается , что превосходит скорость волны альфвеновского типа  при , которая равна скорости медленной волны при . Это совпадает с данными вычислительного эксперимента, которые изображены на рис.1.

Рис. 1 Скорость медленной магнитозвуковой волны в зависимости от угла .

При действии внешнего магнитного поля медленная волна была обнаружена в магнитной суспензии, где частицы имеют микронные размеры [12]. В данных экспериментах использовалось сильное магнитное поле и для частиц применимо однодоменное состояние. В теории магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью были объяснены экспериментальные данные по скорости медленной волны: около  [5]. В [12] эксперименты  проведены только для распространения волн вдоль поля . В теории магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью [5,13] медленная волна не распространяется  перпендикулярно магнитному полю, а в теории магнитной жидкости с внутренним вращением распространяется в случаях  и  (13). Это является еще одним отличием двух теорий.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, показано, что в модели магнитной жидкости с внутренним вращением существуют три гидродинамические моды, как и в теории магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью [5]. Геометрия задачи отличается от [4], но это не влияет на получаемые решения в модели магнитной жидкости с внутренним вращением. Из полученных в данной работе выражений следует, при распространении быстрой и медленной волн возмущается плотность и, поэтому проявляется анизотропия скорости и коэффициента поглощения звука. Модифицированная волна альфвеновского типа – это распространение возмущений компонент скорости и намагниченности, которые перпендикулярны направлению волнового вектора, т. е. является поперечной волной.

ЛИТЕРАТУРА

1. Sokolov V.V., Tolmachov V.V. Wave Propagation in Magnetic Fluid with Frozen Magnetization // Sev. Int. Conf. onMagn. Fluids : Abstracts. India, Bhavnagar, 1995. P. 194-195.

2. Шлиомис М.И. К гидродинамике жидкости с внутренним вращением // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1966. Т. 51. Вып. 1 (7). С. 258-265.

3. Зайцев В.М., Шлиомис М.И. Увлечение ферромагнитной суспензии вращающимся полем // Журнал прикладной механики и технической физики.  1969. № 5. С. 11-16.

4. Райхер Ю.Л., Шапошников И.Г. О спектре собственных колебаний ферромагнитной жидкости // Физические свойства и гидродинамика ферромагнетиков: сб. науч. тр. / Уральский научный центр, Академия наук СССР. Свердловск, 1977. С. 20-27.

5. Sokolov V.V. Wave Propagation in Magnetic Nanofluids (A Reiew) // Acoustical Physics. 2010. Vol. 56. No. 6. P. 972-988. DOI :  10.1134/S1063771010060229

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 624 с.

7. Резибуа П., Де Леенер М. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов. М.: Мир, 1980. 424 с. [Resibois P., De Leener M. Classical Kinetic Theory of Fluids. NewYork: JohnWileyandSons, 1977].

8. Буров В.А., Алексеенко Н.В., Румянцева О.Д. Многочастотное обобщение алгоритма Новикова для решения обратной двумерной задачи рассеяния // Акустический журнал. 2009. T. 55. № 6. C. 784-798.

9. Фертман В.Е. Магнитные жидкости: справочное пособие. Мн.: Высш. шк., 1988. 184 с.

10. Шлиомис М.И. Эффективная вязкость магнитных суспензий // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1971. Т. 61. Вып. 6 (12). C. 2411-2418.

11. Hornowski T. Ultrasonic Properties of EMG-605 Magnetic Liquid // Proc. of SPIE. 2005. Vol. 5828. P. 205-212. DOI : http://dx.doi.org/10.1117/12.612810

12. Nahmad-Molinari Y, Arancibia-Bulnes C.A., Ruiz-Suarez J.C. Sound in a Magnetorheological Slurry // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 82. P. 727-730.

13. Овчинников И.Э., Соколов В.В. Влияние внешнего магнитного поля на скорости распространения магнитозвуковых волн в магнитной жидкости // Акустический журнал. 2009. T. 55. № 3. C. 356-361.