НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 621.391.7, 621.391.83

Россия, Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова

kazakov@uniyar.ac.ru

xabbb@mail.ru

Введение

Идея создания системы передачи информации на базе динамического хаоса привлекает многих ученых со времен первых работ по синхронизации хаоса Луиса Пекоры (Louis M. Pecora) и Томаса Кэрролла (Thomas L. Carroll) [1, 2]. Одним из возможных методов передачи информации является переключение хаотических режимов (ChaoticShiftKeying), описанное в [3]. Существенным моментом является повышенная чувствительность приемника к шумам, накладывающимся на передаваемый хаотический сигнал, препятствующая созданию системы передачи, работающей в реальных условиях.

Выход может быть найден при использовании модуляции по хаотическому закону неэнергетических параметров сигнала таких, как частота или фаза. Как известно из теории радиосвязи подобные сигналы обладают повышенной помехозащищённостью. Сигналы с подобными свойствами могут быть реализованы на базе систем фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ). Генератор хаотических колебаний подобного типа рассмотрен авторами в [4]. Там же для системы фазовой автоподстройки с астатизмом 1-го порядка решена задача хаотической синхронизации однокольцевых и двухкольцевых систем ФАПЧ. Основу рассмотренной в работе математической модели составило уравнение для фазовой ошибки

_,                                                                                        (1)

полученное для петлевого фильтра с коэффициентом передачи

где ,  – безразмерные параметры фильтра. Присутствующая в правой части (1) нормированная частотная расстройка  оказывает существенное влияние на эффективность процессов синхронизации и фильтрации, необходимых для реализации алгоритмов приема хаотических сигналов [3].  Сложность состоит в том, что расстройка  в реальных беспроводных каналах является неуправляемым параметром и ее значение вследствие ряда причин, среди которых нестабильность генераторных схем, доплеровское смещение частоты, на приемной стороне, неизвестно. Чтобы уменьшить влияние частотной расстройки на эффективность приема, следует повысить порядок астатизма системы ФАПЧ. В этом случае в правой части (1) пропадает постоянная , и появляется возможность эффективной синхронизации, фильтрации хаотического сигнала.

Целью данной работы является исследование точности восстановления фазы хаотического сигнала с помощью расширенного фильтра Калмана, построенного для хаотического генератора на основе системы ФАПЧ с астатизмом 2-го порядка. Полученные результаты могут быть использованы при создании беспроводной скрытной системы передачи информации на основе метода переключения хаотических режимов [3].

1. Постановка задачи

В работе рассматривается математическая модель системы ФАПЧ с астатизмом 2-го порядка в качестве генератора хаотических колебаний, которая имеет вид

                          (2)

Данная модель соответствует следящему фильтру

                                                                  (3)

состоящему из последовательно включенных 2-х типовых звеньев: интегратора с форсированием и колебательного звена. Безразмерная постоянная времени  и коэффициент форсирования  характеризуют интегратор с форсированием, а коэффициент демпфирования  и безразмерная постоянная времени  – колебательное звено. Использование в фильтре интегратора обеспечивает 2-ой порядок астатизма для системы ФАПЧ и, как следствие, отсутствие зависимости от начальной частотной расстройки .

Известны работы, в которых показана роль колебательного звена, в задачах генерации хаотических колебаний [5, 6]. В частности, исследуются колебательные и вращательные хаотические режимы, вопросы их устойчивости и задача увеличения области в пространстве параметров системы, соответствующей хаотическому аттрактору колебательного типа. Построенная таким образом система (2) должна обладать достаточно сложной динамикой. Представляет интерес изучение однородности и размера областей в пространстве параметров системы (2), соответствующих хаотическим режимам.

Аналитическое исследование системы (2) не дает информации о значениях параметров, при которых возникает хаотический режим в системе ФАПЧ, соответствующий хаотическому аттрактору колебательного типа. Исследование системы осложняется высокой размерностью фазового пространства () и большим числом параметров. Представляет интерес изучение чувствительности рассматриваемых режимов как с точки зрения дополнительных внешних воздействий, так и изменяющихся во времени параметров системы.

В основу численного исследования положен алгоритм Бенеттина (G. Benettin [7]) и метод ортогонализации векторов Грама-Шмидта [8], позволяющий вычислить последовательно все показатели Ляпунова. В процессе вычисления показателей проводилась проверка единственности наблюдаемого режима.

2. Изучение динамических режимов, возникающих в системе

Особенность задачи состоит в том, чтобы найти области в пространстве значений параметров, отвечающие хаотическим аттракторам колебательного типа. Аттракторы вращательного типа с постоянно увеличивающейся фазой приводят к смещению по частоте выходного сигнала, что нежелательно с позиции решаемых задач.

На рис. 1 представлены диаграммы состояний системы (2). Темно-синим цветом обозначены вращательные режимы, в том числе и хаотические вращательные режимы, оттенками красного – хаотические аттракторы колебательного типа и голубым – предельные циклы.

а)  = 0,6;  = 1,2                                          б)  = 0,8;  = 1,2

в)  = 1,0;  = 1,2                                           г)  = 0,8;  = 1,5

Рис. 1. Диаграмма динамических режимов уравнения (2), построенная на основании старшего показателя Ляпунова

Коэффициент форсирования  влияет на ширину области – с увеличением  область увеличивается и смещается в сторону увеличения , а параметр , в основном,  –  на смещение области. Допустимая вариабельность коэффициента демпфирования  составляет величину ~ 30 % (для  = 0,8 и  = 1,2), что является достаточно «не типичной» ситуацией для систем, демонстрирующих хаотическую динамику [4]. Как следует из рис. 1 изменение  может быть достаточно большим.

Чтобы разобраться в сложной динамике рассматриваемой системы была построена бифуркационная диаграмма для  = 0,8;  = 1,2;  = 40 (рис. 2). Диаграмма строилась таким образом, что при решении дифференциального уравнения (2) для нового (меньшего по отношению к предыдущему) значения параметра  в качестве начальных условий использовались координаты последней точки прошлого решения. Такой подход обеспечивает попадание начальных условий в бассейн притяжения, наблюдавшегося аттрактора. Для нахождения остальных аттракторов значения параметра  менялись по обратному закону (увеличивались), а так же многократно выбирались различные начальные условия.

а)

б)

Рис. 2. Бифуркационная диаграмма для уменьшающегося (а) и увеличивающегося (б) значения параметра :  = 0,8;  = 1,2;  = 40

Диаграммы на рис. 2а и 2б демонстрируют близкое поведение (для полного совпадения диаграмм необходимо инвертировать одну из диаграмм относительно оси абсцисс) во всем диапазоне параметра  за исключением области возникновения явно выраженного хаотического режима ( ≈ 0,1225). Там наблюдается эффект мультистабильности, т. е. сосуществование различных хаотических режимов. Вид режима в каждом конкретном случае определяется начальными условиями. Как видно из рис. 2, область мультистабильности достаточно мала. Из рис. 2 также следует, что сложная динамика появляется в результате каскада удвоений периода колебаний.

Для тех же значений параметров системы (2) была построена зависимость трех старших показателей Ляпунова от параметра  (рис. 3).

а)

б)

Рис. 3. Зависимость трех старших показателей Ляпунова от  (а) и увеличенный фрагмент бифуркационной диаграммы (б):  = 0,8;  = 1,2;  = 40

Положительность старшего показателя Ляпунова показывает, что хаотические колебания возникают при  < 0,1258, а со значения  ≈ 0,1222 изменяется режим динамического хаоса. Проекции фазовых портретов на трехмерное пространство переменных (x₁, x₂, x₃) для различных хаотических режимов представлены на рис. 4.

а)   = 0,124                                              б)   = 0,120

Рис. 4. Проекции фазовых портретов на трехмерное пространство переменных

3. Формирование синхронного хаотического отклика с помощью расширенного фильтра Калмана

Современные методы построения систем передачи информации базируются на применении программируемых логических интегральных схем и цифровых сигнальных процессоров. Особенностью такой обработки является процесс дискретизации проступающего на вход приемника сигнала. Представляет интерес изучение влияния эффектов дискретизации для хаотических сигналов и выбора соответствующего периода дискретизации для обеспечения требуемого качества приема. Рассмотрим цифровой расширенный фильтр Калмана, оценивающий квазиоптимально аналоговый хаотический сигнал, сгенерированный рассмотренной в предыдущем разделе системой ФАПЧ со 2-ым порядком астатизма.

Для реализации алгоритма расширенного фильтра Калмана необходимо записать модель сообщения и модель наблюдения [9]. Модель сообщения для системы (2) имеет вид

где , , ,  – те же что и в (2), h– период дискретизации,  = () – вектор состояния системы (4),  – дискретный аддитивный белый гауссовский шум (АБГШ) канала с ковариационной матрицей Q.

Было принято, что наблюдение за фазовой переменной реализовано с помощью дополнительного фазового дискриминатора с синусоидальной характеристикой. В этом случае, модель наблюдения имеет вид

,                                                                                          (5)

где  – априорная оценка фазы,  – дискретный АБГШ с дисперсией R, возникающий в дополнительном фазовом дискриминаторе,  –  крутизна характеристики фазового дискриминатора.

В этом случае, апостериорная часть алгоритма цифрового расширенного фильтра Калмана запишется в виде [9]

а априорная часть в виде

,                                                                                         (9)

где   – матрица «калмановского усиления»;  и   апостериорная и априорная ковариационные матрицы ошибок  ( – апостериорная оценка вектора состояний ) и  ( – априорная оценка вектора состояний , полученная из (4) при отсутствии шума w_k) соответственно;

I – единичная матрица. Полагалось, что шумы  отсутствуют. Соответственно, далее под Qбудем понимать дисперсию фазового шума, вносимого в первую компоненту вектора состояния .

Ниже исследовались зависимости дисперсии ошибки от различной настройки фильтра  и выбора периода дискретизации h.

На рис. 5 показана зависимость среднеквадратичного отклонения (СКО) первой координаты от отношения сигнал шум (ОСШ).

Рис. 5. Зависимость СКО первой координаты от ОСШ для различных h

Значительные выбросы СКО для низкого ОСШ при грубом периоде дискретизации (h ~ 0,2) свидетельствуют о неработоспособности алгоритма. Влияние уменьшения шага дискретизации проявляется в большей степени для больших ОСШ. В целом, уменьшение периода дискретизации влечет к уменьшению ошибки восстановления исходного вектора состояний.

Отметим, что для каждого значения периода дискретизации при заданных Rи Qсуществует ошибка, обусловленная применением процедуры дискретизации, которая определяет максимальное качество восстанавливаемого вектора состояний. С другой стороны, имея результаты, изображенные на рис. 6, можно указать необходимый период дискретизации, обеспечивающий наиболее оптимальную оценку вектора состояний, для любого ОСШ в канале передачи.

Зависимость результатов от заданной дисперсии шума Rв приемном устройстве изображена на рис. 6.

а) R = 10                                                      б) R = 1

Рис. 6. Зависимость СКО первой координаты от ОСШ для различныхh

Влияние уменьшения задаваемой дисперсии измерительного шума Rне однозначно. С одной стороны, заметно уменьшается СКО ошибки для больших периодов дискретизации, и качество восстановления вектора состояний для высоких ОСШ. С другой стороны, ужесточаются требования на максимально допустимый уровень шума (см. рис. 6б, область работоспособности для ОСШ превышает 0 дБ), и наблюдается ухудшение качества фильтрации для малых периодов дискретизации в области небольших ОСШ (ср. СКО на рис. 5 и рис. 6б для ОСШ = 10 дБ и  = 0,01).

Представляет интерес исследование чувствительности алгоритма к неточности задания параметров модели сообщения. Из рис. 7 видна динамика СКО ошибки оценки фазы для различных значений .

а)  = 0,05                                                    б)  = 0,11

в)  = 0,15                                                    г)  = 0,25

Рис. 7. Зависимость качества работы фильтра от неточности задания  ( = 0,11) в модели сообщения алгоритма фильтрации

Для низких ОСШ неточность задания параметра  не ухудшает качество работы фильтра, а иногда (см. рис. 7а) накладывает дополнительные ограничения на максимально допустимый уровень шума. Это происходит потому, что ошибки (или эквивалентное шумовое воздействие), возникающие в результате неточного задания параметра , не превосходят ошибок, вызванных АБГШ канала. При больших ОСШ и небольших периодах дискретизации влияние неточности задания параметра  становится заметным (разница превышает 10 дБ).

Характер зависимости ошибки восстановления сигнала от неточности задания других параметров системы не изменяется. Значительные выбросы СКО для низкого ОСШ при грубом периоде дискретизации h ~ 0,2 свидетельствуют о неработоспособности алгоритма. Влияние уменьшения шага дискретизации проявляется в большей степени для больших отношений сигнал/шум. В целом, уменьшение периода дискретизации влечет к уменьшению ошибки восстановления исходного вектора состояний.

Заключение

Исследование системы ФАПЧ с астатическим фильтром показало наличие множества динамических режимов в системе, в том числе и хаотических. Было установлено, что коэффициент форсирования  влияет на ширину области – с увеличением  область увеличивается и смещается в сторону бóльших , а параметр , – в основном, на смещение области. Допустимая вариабельность коэффициента демпфирования , при которой сохраняется хаотический режим, составляет величину около 30 %. Это очень большая величина по сравнению с однокольцевой системой ФАПЧ [4, 5].

В работе исследовались влияние эффектов дискретизации хаотического сигнала на качество восстановления исходного сигнала с помощью цифрового расширенного фильтра Калмана. Было установлено, что при большом периоде дискретизации расширенный фильтр Калмана расходится, не обеспечивая требуемых оценок. С уменьшением периода h, начиная с определенного значения, фильтр обеспечивает минимум дисперсии ошибки. При построении расширенного фильтра Калмана для регулярных сигналов подобные эффекты наблюдаются только для очень грубого шага дискретизации.

Для устойчивой работы фильтра необходимо правильно выбирать шаг дискретизации и параметры Rи Q. В случае ошибочного задания хотя бы одного из параметров системы качество фильтрации ухудшается, но в значительной степени это заметно для больших значений отношения сигнал/шум .

Литература

1.  Pecora L. M. and Carroll T. L. Synchronization in chaotic systems // Phys. Rev. Lett. 1990. Vol. 64, – P. 821.

2. Heagy J. F., Carroll T. L. and Pecora L. M. Synchronous chaos in coupled oscillator systems // Phys. Rev. 1994. Vol. E50. – P. 1874.

3. Дмитриев А. С., Панас А. И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. – М.: Физматлит, 2002. – 252 с.

4. Ходунин А. В., Казаков Л. Н. Хаотическая синхронизация каскадно-связанных систем фазовой автоподстройки частоты // Моделирование и анализ информационных систем. – Ярославль: ЯрГУ, 2009. Т. 16, №4. – С.117–131.

5. Матросов В. В. Автомодуляционные режимы системы фазовой автоподстройки час­тоты с фильтром второго порядка // Известия вузов. Радиофизика. Т. XLIX, №4. 2006.

6. Матросов В. В. Нелинейная динамика системы фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка // Известия вузов. Радиофизика. Т. XLIX, № 3. 2006. – С. 267.

7. Benettin G. Kolmogorov entropy and numerical experiments / G. Benettin, L. Galgani, J. M. Strelcyn // Phys. Rev. 1976. Vol. A14. – P. 2338–2345.

8. Кузнецов C. П. Динамический хаос. – М.: Физматлит, 2002. – 286 с.

9. Шахтарин Б. И. Фильтры Винера и Калмана. – М.: Гелиос АРВ, 2008. – 408 с.