Другие журналы
|
научное издание МГТУ им. Н.Э. БауманаНАУКА и ОБРАЗОВАНИЕИздатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211. ISSN 1994-0408
Оценка параметра степенной модели Лемана-Кокса методом минимизации функционалов типа Колмогорова-Смирнова и Сэвиджа
# 07, июль 2012 DOI: 10.7463/0712.0410885
Файл статьи:
Тимонин_P.pdf
(264.23Кб)
УДК. 519.22 Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана 1. Введение. Для оценки результатов различных экспериментов в науке и технике широко используется непараметрическая степенная модель Кокса-Лемана [1]. Суть модели заключается в том, что функции распределения различных выборок связаны степенной зависимостью, причем показатель степени есть функция от различных факторов эксперимента. Разработаны методы оценки параметров регрессионных зависимостей этого показателя. Вместе с тем отсутствуют методы проверки справедливости самой степенной модели Кокса-Лемана, что часто ставит под сомнение адекватность получаемых статистических выводов. В настоящей работе приводятся два возможных способа проверки адекватности модели Кокса-Лемана. Методом Монте-Карло сравнивается качество оценок, полученных предложенными способами. Задача формулируется как задача теории надежности, однако, при соответствующем изменении терминологии, результаты могут быть использованы для анализа результатов биологических, социологических и других экспериментов. 2. Постановка задачи. Пусть проводятся испытания двух выборок изделий в различных режимах и . Обозначим – моменты отказов в режимах и соответственно, причем . Здесь – функции распределения наработок до отказа в этих режимах. В дальнейшем предполагается, что для выполняется либо соотношение , (1) либо . (2) Показатель степени неизвестен и подлежит оценке. Обе модели относятся к моделям Кокса – Лемана [1]. В работе анализируется случай, когда справедлива первая модель. Вторая модель сводится к первой простым переходом от случайных величин к величинам . Введем некоторые обозначения. Пусть – объединенный вариационный ряд из элементов . Определим 2 вектора: и по правилу: , . Очевидно, что вектор состоит из единиц и нулей. Их общее количество равно числу . Для величин справедливо неравенство . В дальнейшем без ограничения общности будем считать, что . Лемма 1. (Сэвидж, [2]). Пусть справедливо (1). Тогда вероятность имеет вид . (3) Обычно параметр оценивают методом максимального правдоподобия, то есть максимизируют по вероятность (3). Элементарно можно получить уравнение, которому удовлетворяет оценка : . (4) Дело, однако, заключается в том, что при небольших объемах выборок с ненулевой вероятностью решение (4) – отрицательно, что невозможно. Другими словами, оценка максимального правдоподобия дает качественно неверные результаты. 3. Описание предлагаемых методов. Рассмотрим две оценки параметра , основанные на минимизации двух различных функционалов. Эти оценки будут лишены указанного выше недостатка. Кроме того, они позволяют проверить адекватность самой степенной модели Кокса-Лемана. В работах [3,4] были предложены два критерия проверки статистической гипотезы вида , (5) где – известное фиксированное число. Первый из них является критерием типа Колмогорова-Смирнова со статистикой [3] , (6) где – эмпирические функции распределения выборок ; – объединенная оценка функции распределения. Второй критерий является локально наиболее мощным критерием проверки (5) против альтернатив вида , [4]. Его статистика имеет вид . (7) Если параметр неизвестен, то в качестве оценок предлагается брать величины, минимизирующие и . Другими словами, рассматриваются оценки , . Здесь – соответственно математическое ожидание и дисперсия статистики , которые требуют определения. Дело в том, что в работе [4], где была введена статистика , были разработаны лишь итерационные методы вычисления точных вероятностей . Однако они становятся бесполезными уже при , так как множество значений растет пропорционально . Утверждение. Среднее и дисперсия имеют вид . (8) Кроме того, дисперсия может быть вычислена через рекуррентное соотношение с заданными начальными и граничными условиями (9) Доказательство. Дифференцируя по обе части тождества , имеем . Отсюда следует выражение для . Дифференцируя второй раз, аналогичным образом получим выражение . Отсюда следует, что . Прямым вычислением математического ожидания суммы в правой части нетрудно получить интегральное представление для . Рекуррентное соотношение (9) является следствием интегрального представления. Адекватность модели проверяется следующим образом. Пусть и - найденные оценки, полученные минимизацией , соответственно. Тогда можно проверить гипотезу (5) с помощью статистик - при , и при . Если гипотеза (5) отвергается хотя бы одним из предложенных критериев, то модель Кокса-Лемана - неадекватна. 4. Сравнение оценок методом Монте-Карло. Было проведено обширное статистическое моделирование для сравнения свойств оценок, полученных минимизацией этих двух статистик – , . В качестве примера приведем результаты моделирования, когда истинное значение , функция распределения . Моделировались выборки одинакового объема, чьи функции распределения удовлетворяют (1) при . По этим двум выборкам вычислялись оценки параметра . Процедура повторялась 500 раз. По полученным реализациям строились гистограммы распределения оценок для обоих методов оценки, а также вычислялись средние значения оценок коэффициентов и значения дисперсий оценок. На рисунках 1, 2 показаны гистограммы оценок для объемов выборок . Для них ; На рисунках 3, 4 показаны гистограммы оценок для объемов выборок . Для них ; Анализ результатов моделирования показал безусловное преимущество оценок, полученных минимизацией статистики перед оценками, полученными минимизацией статистики в том случае, если соотношение (1) справедливо при каком-то значении . Смещение и разброс оценки всегда меньше смещения и разброса оценки . Вместе с тем при небольших объемах выборок, обе эти оценки имеют значительное систематическое смещение. По этой причине следует пользоваться поправочными коэффициентами, которые также можно рассчитать методом Монте-Карло.
Заключение. Предложены два метода оценки параметра степенной модели Кокса-Лемана, позволяющие проверять адекватность этой модели. Показано, что если модель верна, то одна из оценок всегда «лучше» другой. Вместе с тем, авторы считают, что следует всегда использовать оба метода, так как использование статистики необходимо для проверки адекватности модели, а статистики - для оценки параметра модели. Список использованной литературы 1. Кокс Д., Оукс Д. Анализ данных типа времени жизни. М.: Финансы и статистика. 1988. 191с. 2. Savage R. Contributions to the Theory of Rank Order Statistics – the Two – Sample Case // Ann. Math. Stat. 1956. V.27. № 3. P. 590 –615. 3. Тимонин В.И. О предельном распределении статистики одного непараметрического критерия. // Теория вероятностей и ее применение. 1987. Т. 32. №4. С. 790-792. 4. Тимонин В.И. Об одном локально наиболее мощном ранговом критерии// Вероятностные процессы и их приложения. М.: МИЭМ. 1983. С. 74-80. Публикации с ключевыми словами: метод Монте-Карло, статистические оценки, степенная модель Кокса-Лемана, статистики типа Колмогорова-Смирнова и Сэвиджа Публикации со словами: метод Монте-Карло, статистические оценки, степенная модель Кокса-Лемана, статистики типа Колмогорова-Смирнова и Сэвиджа Смотри также: Тематические рубрики: Поделиться:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|