Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

Синтез управления в стохастических системах методом обобщенного полиномиального хаоса

# 05, май 2012
DOI: 10.7463/0512.0410536
Файл статьи: Пупков_P.pdf (443.70Кб)
авторы: Пупков К. А., Фам С. Ф.

УДК 681.06

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

pupkov@iu1.bmstu.ru

phangvn@mail.ru

Введение

 

Метод на основе обобщенного полиномиального хаоса (ОПХ) [1-3], обеспечивает анализ и синтез динамической системы при наличии неопределенности (начальные условия, параметры, структура и воздействия окружающей среды). Полученное решение использует средние значения параметров системы с вероятностной неопределенностью. Предполагается, что функция плотности вероятности значений этих параметров известна.

При решении задачи синтеза и анализа стохастических динамических систем на основе ОПХ скорость сходимости и точность решения зависят от числа членов разложения. Метод ОПХ имеет преимущество перед классическими методами (метод Монте-Карло,  и другие).

 

1      Постановка задачи

 

Рассмотрим задачу синтеза оптимального управления в стохастических линейных системах [3-5]. Модель системы имеет вид

где     ;

  - матрицы с параметрической неопределенностью;  - вектор состояния системы;  - вектор управления;  - вектор случайных процессов (СП).

Ставится задачу синтеза управления стохастической динамической системой: найти закон управления с обратной связью в виде

                    (2)

чтобы минимизировать целевой функционал

 

2 Решение задачи

 

Для решения задачи используется расширение полиномиального хаоса Винера-Аски [2,3], являющееся обобщением расширения оригинального винеровского хаоса, но с использованием полного ОПХ. Каждый компонент состояния системы  будет множеством ортогональных СП, представленных в виде

                  (4)

Каждая функция базиса  ОПХ формирует ортогональный базис и означает среднее

             (5)

где  - функция Кронекера, оператор  - среднее взвешенное  произведение.

Для СП среднее взвешенное произведение  на гильбертовом пространстве определяется выражением

                  (6)

где  - весовая функция - функция плотности вероятности СП , связанная с отдельной выборкой из ОПХ Винера-Аски,  - оператор математического ожидания, взятый по отношению к функции плотности вероятности соответствующего полиномиального базиса. Тогда среднее произведение ортогонального полинома базисных функций равно

Выборка базисных функций по схеме Винера-Аски зависит от распределения вероятности.

Каждый тип полинома из схемы Винера-Аски формирует комплексный базис в гильбертовом пространстве. В таблице 1 показаны некоторые общие распределения вероятностей и их связь с полиномиальным базисом в схеме Винера-Аски.

С помощью ОПХ [1-3] процессы ,  и матрицы ,  можно переписать в виде

         (7)

где- базисные функции, зависящие от вида СП  (табл. 1); коэффициенты  и  получены методом проекцией Галеркина [3, 4] на :

 ,              (8)

Обозначим

Закон управления в форме обратной связи зависит от плотнсти вероятности СП и состояния системы (2) вида [1, 5]:

           (9)

Закон управления является стохастическим из-за стохастической траектории состояния и входит в целевую функцию . Минимум целевой функций  достигается с помощью оптимального управления

             (10)

где  - произведение Кронекера.

Если управление оптимально, то целевой функционал принимает минимальное значение. Матрица К должна удовлетворять решению уравнения Риккати

В результате выбора структуры управления с обратной связью по состоянию получаем модель системы вида

        (11)

Таким образом, мы преобразуем модель вида (1) с неопределенными параметрами в модель (11) с расширенной размерностью.

 

Таблица 1.

Связь ОПХ и типов случайного процесса

 

Случайный процесс

ОПХ

Гауссова

Равномерная

гамма

бета

пуассона

Эрмит

Лежандр

Лагерр

Якоби

Шарлье

 

 

3 Пример

 

Применим метод ОПХ для решения задачи синтеза оптимального управления стохастической системой вида

            (12)

где  – СП с однородным распределением в области . Базисными функциями являются полиномы Лежандра (см. табл. 1).

Для этого примера возьмем порядок полинома Лежандра p=4:

Выполним ОПХ разложение . Система (12) после ОПХ разложения приобретает вид

   (13)

где    

 .

Приведем численный пример. Для системы (12) заданы начальные условия .

На рис. 1, 2 показаны результаты моделирования с помощью метода ОПХ и методом Монте-Карло. Красные линии - результаты, полученные методом ОПХ, зеленые - результаты, полученные методом Монте-Карло.

 

Рисунок 1 - Средние значения траектории состояния системы

 

 

Рисунок 2 – Оценки дисперсии траектории состояния системы

 

Результаты показывают, что оценки средних значений и оценки дисперсий, полученные ОПХ и метод Монте-Карло достаточно близки.

 

Заключение

 

Предложен метод разложения ОПХ позволяет анализировать линейные и нелинейные стохастические дифференциальные уравнения как детерминированные. Другие основные результаты представленного метода включают в себя возможность решить задачи оптимального стохастического управления в виде детерминированной задачи.

Данный метод можно применять в задаче синтеза систем оптимального управления, а также в задаче идентификации нелинейных стохастических динамических объектов.

 

Литература

 

1.  Beckmann P., Orthogonal Polynomials for Engineers and Physicists / P. Beckmann. - Golem Press, 1973, 280p.

2.  Datta K.B., Orthogonal Functions in Systems and Control / K.B Datta, B. M. Mohan. - World Scientific Press, 1995, 288p.

3.  Polyak B.T., Probabilistic robust design with linear quadratic regulators / B.T. Polyak and R. Tempo, - Systems and Control, 2001, V. 43, p. 343-353,.

4.  Sun J., Stochastic Dynamics and Control / J. Sun - Science Press, 2006, 417p.

5.  Пупков К.А. Методы робастного и адаптивного управления / К.А.Пупков-М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.-744с.

Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2019 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)