Другие журналы
|
научное издание МГТУ им. Н.Э. БауманаНАУКА и ОБРАЗОВАНИЕИздатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211. ISSN 1994-0408![]()
77-30569/354740 Математическое моделирование температурных полей с учетом фазовых переходов в криолитозоне
# 04, апрель 2012
Файл статьи:
![]() УДК.536.42 МГТУ им. Н.Э. Баумана Будущее топливно-энергетического комплекса России связано с освоением нефтегазовых ресурсов арктических шельфов. Задачи, связанные с изучением, прогнозом и управлением температурными полями в грунтовых средах, в настоящее время являются одними из наиболее важных и востребованных в сфере инженерной геологии и строительства. В современных условиях, когда на территории Российской Федерации происходит разработка новых месторождений нефти и газа, все чаще поднимается проблема строительства в районах вечной мерзлоты, ведь они занимают 64 % от площади РФ и 25 % площади всего мира. В их строении выделяются ярусы охлажденных ниже 0°С и многолетнемерзлых пород. Составление прогноза изменений температурного режима грунтов является необходимым элементом инженерно-геологического обоснования строительства (реконструкции, расширения) объектов нефтегазовой промышленности в районах распространения вечномерзлых грунтов. Целью данной работы является построение математической модели, позволяющей составлять подобные температурные прогнозы. Эта модель должна учитывать фазовые переходыв трехмерной области. Прогноз изменений температурного режима грунтов может выполняться приближенными аналитическими методами, с помощью моделирования, а также численными методами. Задача определения температурного поля в процессе термостатирования многофазных веществ является нелинейной и относится к классу задач со свободной границей, в которых часть границы не задана и должна быть определена вместе с решением системы дифференциальных уравнений теплопроводности. Научная новизна работы заключается в следующем. С помощью интегро-интерполяционного метода (метода контрольных объемов) была получена дискретная постановка задачи Стефана, сводящаяся к задаче нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Решение такой системы было получено с помощью метода прогонки (для одномерного случая) и метода переменных направлений (для двух- и трехмерного случаев). Задача была приведена к безразмерному виду. Температурный режим (совокупность последовательных температурных полей в грунтовом массиве, соответствующих любым заданным моментам времени от начала расчета) рассчитывается как результат задаваемых на весь период расчета прогноза тепловых воздействий на верхней, боковых и нижней границах грунтового массива. Расчетный алгоритм составлен и может быть применен для расчетных областей, ограниченных прямоугольной верхней границей, в контурах которой фиксированы тепловыделяющие объекты. В трехмерном случае область исследования параллелепипед, в двухмерном — прямоугольник и в одномерном — прямая. В разработанном алгоритме учитываются условия на границе слоев, условия на границе фазового перехода воды в лед, физические свойства грунтов: суглинок буро-коричневый, супесь буровато-коричневая с прослоями суглинка и песка, песок пылеватый. Теплофизические характеристики корректируются по ходу вычислений при изменении влажности и температуры. Величина солнечной радиации определяется в зависимости от месяца и географической широты. Численная реализация выполнена на языке Fortran. Программа способна рассчитать температурное поле в заданной области исследования при наличии определенного набора входных данных: физические характеристики области исследования, геометрическое разбиение области исследования, начальное распределение температуры, граничные условия. Следует отметить, что большая часть работ, связанных с температурными полями в таких средах носит экспериментальный характер, поэтому численное моделирование прогноза физических характеристик является особенно актуальным. Предшествующие работы посвящены решению подобных задач в двумерных и одномерных областях, либо построению моделей трехмерных моделей без учета фазовых переходов. Автором была рассмотрена подобная задача в энтальпийной постановке, с которой можно ознакомиться в [1]. Разработанная модель может найти применение в таких отраслях как строительство в зоне вечной мерзлоты, геология, космонавтика и др. 1 Теплопроводность твердых тел Процесс теплообмена представляет собой перенос энергии, происходящий между телами (средами), имеющими различную температуру. Тепловое поле на данный момент времени tопределяется распределением температуры по телу, т.е. функцией Основное положение теории теплопроводности, известное как закон Фурье, состоит в предположении пропорциональности теплового потока градиенту температуры в однородной среде:
где sопределяет мощность внутренних источников теплоты, с – удельная теплоемкость, Подстановка выражения для потока в (1.1) позволяет записать основное дифференциальное уравнение теплопроводности
Коэффициенты и правая часть уравнения могут зависеть как от точки пространства (при неоднородной среде), так и от температуры. Если теплофизические свойства среды постоянные (однородная среда), то уравнение теплопроводности (1.2) упрощается и принимает вид
где Другой частный случай уравнения теплопроводности (1.2) соответствует описанию установившихся тепловых полей. Стационарное уравнение теплопроводности имеет вид При моделировании теплопереноса в движущейся среде (движущейся системе координат) уравнение теплопроводности (1.2) соответствующим образом трансформируется. Переход основан на замене частной производной по времени
Здесь член с Распределение температуры в точках среды в различные моменты времени определяется из уравнения теплопроводности. Для однозначного определения температуры поля помимо уравнения необходимо сформулировать дополнительные (замыкающие) соотношения, так как решения уравнений в частных производных определяются с точностью до некоторых произвольных функций. Для этого дифференциальное уравнение в общем виде дополняется: уравнениями состояния, уравнениями неразрывности, условиями в начальный момент времени, условиями на границах тела, данными о геометрии (в частности, условиями симметрии), о теплофизических свойствах материала, а иногда и другими замыкающими задачу сведениями. Отдельно рассмотрим условия на границе контакта двух сред с различными теплофизическими характеристиками. Прежде всего, остановимся на вопросе, какие условия сопряжения естественны для уравнения теплопроводности, и, следовательно, их можно явно не формулировать. В этом случае условия контакта обуславливаются только разрывами теплофизических характеристик при переходе границы сред. Будем считать, что контакт двух однородных сред проходит по плоскости
причем коэффициенты разрывны при
С учетом такого разрыва коэффициентов уравнения (1.7) естественно считать, что само решение уравнения (температура u) непрерывно, а вот его первые производные уже разрывны. Поэтому напишем условие непрерывности температуры при переходе из одной среды в другую в форме
где через [ ] обозначен скачок при переходе границы контакта. В рассматриваемом случае Для того, чтобы получить естественные условия сопряжения для уравнения теплопроводности (1.7) с разрывными коэффициентами (1.8), можно поступить следующим образом. Выделим на границе контакта некоторую ограниченную область
С учетом непрерывности температуры (условие (1.9)), конечности разрывов при
В силу произвольности выбора элемента
Условие сопряжения (1.10) отражает непрерывность теплового потока. Естественные условия сопряжения записываются аналогично (1.9), (1.10) на произвольной криволинейной границе сопряжения двух сред
Уравнение (1.11) характеризует условие непрерывности температурного поля, а уравнение (1.12) ‑ закон сохранения энергии на поверхности соприкасающихся тел при условии идеального теплового контакта. Подчеркнем еще раз, что условия (1.11) и (1.12) являются естественными для уравнения (1.7) с разрывными коэффициентами (1.8), они включены в само уравнение и нет необходимости каждый раз формулировать их отдельно. Если на границе двух сред не выполнены условия идеального контакта (непрерывности температуры и теплового потока), то необходимо специально формулировать условия сопряжения, которые дополняют уравнение теплопроводности, записанное в каждой отдельной среде. Эти условия сопряжения отражают особенности тепловых процессов на границе контакта, особенности поведения решения задачи при переходе границы контакта и не всегда могут включаться в само уравнение теплопроводности. Пусть на границе контакта имеется поверхностный тепловой источник мощности
Условия сопряжения могут включаться в само уравнение теплопроводности, которое записывается для всей расчетной области без выделения границы контакта
где
В вычислительной теплофизике выделяют и другие типы условий сопряжения. В качестве примера отметим условия типа сосредоточенной теплоемкости, когда также имеет место непрерывность температуры, а разрыв теплового потока определяется соотношением
где В прикладных исследованиях большого внимания заслуживают условия неидеального контакта. Такой случай реализуется, например, при недостаточно плотном соприкосновении шероховатых твердых тел. При неидеальном контакте тепловой поток непрерывен, что является отражением закона сохранения энергии. Таким образом, одно условие сопряжения мы имеем — условие (1.12). Температура при переходе границы неидеального контакта терпит разрыв, пропорциональный тепловому потоку
Здесь коэффициент контактного теплообмена
2 Математическая постановка задачи В классической задаче Стефана рассматриваются фазовые превращения с участием твердой фазы — твердое тело—жидкость. Примером таких превращений являются процессы затвердевания и плавления в металлургии. Соответствующие математические модели характеризуются наличием подвижных заранее неизвестных границ фазового перехода — задач со свободными (неизвестными) границами. Основная предпосылка при моделировании фазовых превращений твердое тело—жидкость состоит в том, что фазовый переход происходит при заданной постоянной температуре фазового перехода u*. Пусть фазовый переход происходит на границе раздела фаз, которую мы обозначим S, причем S=S(t). Эта граница разделяет расчетную область Выпишем соответствующие уравнения теплопроводности. В твердой фазе имеем
где
где Нас интересуют условия на границе фазового перехода
Фазовый переход сопровождается выделением/поглощением определенного количества тепла. Поэтому тепловой поток на границе фазового перехода разрывен и определяется величиной
где Как мы уже выше отмечали, предполагается, что фазовый переход происходит при постоянной температуре
Условия (2.3)-(2.5) есть условия Стефана, а соответствующая задача для уравнений (2.1), (2.2) называют задачей Стефана. Рассматриваемая задача характеризуется тем, что исследуются процессы в обеих фазах, поэтому в этом случае говорят о двухфазной задаче Стефана. Предельная ситуация характеризуется тем, что тепловое поле в одной из фаз известно (температура равна температуре фазового перехода). Поэтому рассматривается тепловое поле только для одной из фаз — однофазная задача Стефана [6]. В этом случае неизвестная граница фазового перехода Например, будем считать, что область
Условия типа (2.6), (2.7) характеризуют однофазную задачу Стефана. С точки зрения построения эффективных вычислительных алгоритмов чрезвычайно важное значение имеет тот факт, что задача Стефана допускает обобщенную формулировку, при которой условия (2.3)-(2.5) включаются в само уравнение теплопроводности. Включение неоднородных условий сопряжения на заданной границе раздела в само уравнение обсуждалось выше. В задаче Стефана ситуация осложняется тем, что граница раздела фаз Поясним переход от уравнений (2.1), (2.2) с условиями (2.3)-(2.5) к одному уравнению теплопроводности. В соответствии с (2.4) и (1.13)-(1.14) уравнения (2.1), (2.2) можно записать в виде одного уравнения
Вблизи границы фазового фронта введем локальную ортогональную координатную систему
Подстановка (2.9) в (2.8) дает уравнение
Уравнение (2.9) примечательно тем, что в него не входит явно сама неизвестная граница фазового перехода. Фронт фазового перехода в такой постановке задачи находится как изотермическая поверхность Квазилинейное уравнение теплопроводности (2.10) лежит в основе эффективных процедур приближенного решения задач Стефана. Нелинейности в этой задаче изменяют не только количественный характер тепловых процессов, но и качественную картину их протекания. Они значительно усложняют математические модели тепловых процессов, причем во многом эти трудности связаны с невозможностью применения для нелинейных задач принципа суперпозиции решений. В общем виде (2.10) такая задача не имеет полного аналитического решения. Однако найдены точные аналитические решения для некоторых частных случаев (например, для постоянных коэффициентов и для коэффициентов, зависящих только от температуры). Подробнее с ними можно ознакомиться в [3-4, 7-11].
Требуется найти распределение температуры в среде с фазовыми переходами твердое тело ‑ жидкость. Тепловое состояние такой среды с учетом теплоты фазового перехода описывается уравнением теплопроводности вида
где Решение
Рис. 1. Расчетная область
Коэффициент теплоотдачи На границе
Боковые границы области
В качестве примера расчета рассматривается задача о распределении температурных полей в грунте в районах с сезонными промерзаниями и оттаиваниями почвы (аналогично РСН 67-87 ([29]) и [30]). Рассмотрим здание со свайным фундаментом и термостабилизаторами. Такой тип фундамента часто встречается при строительстве в зоне вечномерзлых грунтов. Предположим, что сверху на грунте построено здание. Необходимо найти распределение температурных полей под зданием, чтобы узнать глубину оттаивания грунтов под ним. Если под зданием через некоторый промежуток времени будут скапливаться оттаявшие грунты, здание может осесть в котлован, образовывающийся под тяжестью самого здания, а затем и вовсе разрушиться [31]. Термостабилизатор – это парожидкостное устройство для охлаждения грунтов, представляющее собой металлическую герметично запаянную, заправленную хладагентом трубку диаметром от 36 до 57 мм, длиной от 6 до 10 м и более, состоящее из конденсатора с оребрением (надземной части длиной в пределах 1—2,5 м) и испарителя (подземной части длиной от 5 до 9 м и более). Работа осуществляется без внешних источников питания, только за счет законов физики — переноса тепла вследствие испарения в испарителе хладагента и его поднятия в конденсаторную часть, где пар конденсируется, отдавая тепло, и стекает по внутренним стенкам трубы вниз. В качестве хладагента применяется экологически безвредный, не воспламеняющийся и взрывобезопасный фреон R22. В расчетах будем использовать гладкостенные термостабилизаторы СОУ СГВ-100-40/9 с глубиной погружения в грунт
В задаче мы будем рассматривать самый простой тип термостабилизаторов: прямой, без изменения формы для теплоотвода. У здания нет вентилируемого подполья, поэтому термостабилизаторы находятся вне границы здания. Пусть область исследования
Область исследования Рис. 2. Верхняя граница расчетной области
В зоне 2 (на рис. 2 – это заполненный текстурой «кирпичная стена» прямоугольник) располагается производственное здание, физические характеристики в этой зоне остаются постоянными во времени. Условия в зонах 1 и 3 изменяются по интервалам времени – месяцам года (см. таблицу 1). За начало отсчета принимается 01 января текущего года. Через год эти условия повторяются, т.е. условия на верхней границе являются периодическими функциями времени с периодом
Таблица1 Физические характеристики на верхней границе расчетной области
Согласно РСН 67-87, СНиП 2.02.04-88, и ГОСТ 25100-82 ([29], [32] и [33] соответственно) можно написать для слагаемого
Здесь Формула для объемной теплоемкости (3.2) учитывает фазовые переходы в области отрицательных температур. Функцией Коэффициент теплопроводности
где Коэффициент теплоотдачи Теплота фазового перехода Физические характеристики литологических слоев, необходимые для расчета, приведены в таблице 2 (см. РСН 67-87, ГОСТ 25100-82, СП 32-101-95 [29, 33, 35]). На нижней границе области Таблица 2 Физические характеристики литологических слоев
Верхняя граница области
Таблица 3 Начальное распределение температуры по глубине
Дополнительно к разбиению области расчета на блоки, в каждом блоке по всем трем направлениям На вертикальных линиях, проходящих параллельно оси Видно, что к концу рассматриваемого периода (5 лет) температура под зданием становится отрицательной уже на глубине порядка 2 м. Это означает, что бόльшая часть грунта находится в твердом состоянии, и зданию не угрожает разрушение. Для свай глубиной залегания 8 м. это вполне допустимая глубина промерзания. Три четверти длины сваи находится в твердом грунте, что позволит зданию устоять без просадки. Хотя следует отметить, что для большей безопасности необходимо использовать термостабилизаторы строго под зданием рядом со сваями. Таким образом, можно подморозить грунт в непосредственной близости от свай и почти полностью сваи будут находиться в твердом грунте. Это особенно важно при строительстве крупных зданий. Также есть смысл строительства зданий с вентилируемым подпольем, за счет чего значительно уменьшится эффект накопления тепла под зданием. В данном случае граничные условия не будут принимать постоянное значение. Однако построение такой модели требует учесть движение воздушных масс и их прогревание, а также их специфический теплообмен с дисперсной средой. По данному направлению ведутся исследования, достигнутые результаты изложены в [37].
Рис. 3. Зависимость температуры от времени в точке М1 на глубинах: 1 – 1 м., 2 – 3 м., 3 – 5 м., 4 – 7 м., 5 – 15,5 м.
Рис. 4. Зависимость температуры от времени в точке М2 на глубинах: 1 – 1 м., 2 – 3 м., 3 – 5 м., 4 – 7 м., 5 – 15,5 м. В результате выполнения данного проекта была разработана эффективная математическая модель для определения температурных полей в низкотемпературных двухфазных средах. В ходе работы были получены результаты прогноза распределения температурных полей для зданий с разным типом фундамента: свайный, ленточный и без фундамента; рассмотрен вариант охлаждения грунта под зданием с помощью термостабилизаторов. Кроме того была создана программа, которая реализует численное решение класса трехмерных обобщенных задач Стефана в безразмерном виде. Программа позволяет прогнозировать распределение температурных полей в низкотемпературных двухфазных средах во времени. Разработанная программа может найти применение в таких отраслях промышленности как космонавтика, геология, строительство в зоне вечной мерзлоты и др.
1 Крылов Д.А., Мельникова Ю.С. Математическое моделирование распределения температурных полей в криолитозоне // Студенческий научный вестник. Сборник статей четвертой научно-технической выставки «Политехника». М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. С.94-97. 2 Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 784 с. 3 Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 488 с. 4 Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 599 с. 5 Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах. Т.1. ‑ М.: Мир, 1991. ‑ 504 с. 6 Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах. Т.2. М.: Мир, 1991. 552 с. 7 Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: учеб. пособие. М.: Изд-во МГУ, 1999. 799 с. 8 Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики: учебник для студентов вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996. 9 Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами. М.: Наука, 1990. 536 с. 10 Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики: учеб. для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 704 с. 11 Синай Я.Г. Теория фазовых переходов. Строгие результаты. М.: Наука, 1980. 208 с. 12 Короновский Н.В. Общая геология: учебник. М.: Изд-во «Книжный дом университет», 2006. 528 с. 13 Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1977. 440 с. 14 Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике: Учеб. для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 496 с. 15 Ferziger Joel H., Petric M. Computational methods for fluid dynamics. 3 rev. ed. ‑ New York: Springer, 2002. ‑ 423 p. 16 Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. ‑ М.: Наука, 1989. ‑ 432 с. 17 Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы вычислений. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения: Учеб. пособие. М.: Изд-во ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2006. 72 с. 18 Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации: Учеб. для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003. 440 с. 19 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Определения, теоремы, формулы. Спб.: Изд-во «Лань», 2003. 832 с. 20 Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы вычислений. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Разностные схемы: Учеб. пособие. М.: Изд-во ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2006. 90 с. 21 Отчет по теме «Фундаментальные основы управления нестационарным температурным режимом в криолитозоне» / МГТУ. Руководитель темы Н.И. Сидняев. ГР № 01201151171, Инв. № 02201157901. М., 2010, 306 с. 22 Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с. 23 Патанкар С.В. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах. М.: Изд-во МЭИ, 2003. 312 с. 24 Веденеева Е.А. Применение метода контрольного объема к решению задач динамики вязких теплопроводных жидкостей. М.: Изд-во МГУ, 2009. 87 с. 25 Сборник задач по методам вычислений: Учеб. пособие для вузов / Под ред. П.И. Монастырского. М.: Физматлит, 1994. 320 с. 26 Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994. 544 с. 27 Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы вычислений. Алгебра. Интерполяция: Учеб. пособие. М.: Изд-во ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2006. 80 с. 28РСН 67-87. Инженерные изыскания для строительства. Составление прогноза изменений температурного режима вечномерзлых грунтов численными методами. М., 1987. 30 Крылов Д.А., Сидняев Н.И., Федотов А.А. Математическое моделирование распределения температурных полей в вечномерзлых грунтах // Материалы Международной научно-практической конференции по инженерному мерзлотоведению, посвященной ХХ-летию создания ООО НПО «Фундаментстройаркос»» - Тюмень. Изд-во «Сити-пресс», 2011. С. 126-132. 31 Цытович Н.А. Механика мерзлых грунтов. М.: Высшая школа, 1973. 448 c. 32СНиП 2.02.04-88. Основания и фундаменты на вечномерзлых грунтах. М., 1998. 33ГОСТ 25100-82. Грунты. Классификация. М., 1982. 34 Роман Л.Т. Механика мерзлых грунтов. М.: МИАК «Наука/Интерпериодика», 2002. 426 с. 35СП 32-101-95. Проектирование и устройство фундаментов опор мостов в районах распространения вечномерзлых грунтов. М., 1996. 36 Попов А.П., Милованов В.И. и др. К вопросу о типовых технических решениях по основаниям и фундаментам для криолитозоны // Инженерная геология. 2008. Сентябрь. ‑ С. 22-38. 37. Крылов Д.А., Сидняев Н.И. Метод расчета массовой кристаллизации многофазных реологических сред // Материалы Четвертой конференции геокриологов России. МГУ им. М.В. Ломоносова, 7-9 июня 2011 г. Т. 1. Часть 1. Физико-химия, теплофизика и механика мерзлых пород. М.: Университетская книга, 2011. С. 129-136. Публикации с ключевыми словами: математическая модель, прогноз, грунт, температурное поле, фазовый переход, термостабилизатор Публикации со словами: математическая модель, прогноз, грунт, температурное поле, фазовый переход, термостабилизатор Смотри также:
Тематические рубрики: Поделиться:
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|