НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 629.78.086

МГТУ им. Н.Э. Баумана

pk-bmstu@ya.ru

Постановка задачи

Исследование космического пространства проводится с целью дальнейшего его использования и невозможно без построения долгоживущих станций и космических группировок. Естественно и то, что эксплуатация таковых влечет постоянный расход рабочего тела на коррекцию и поддержание заданной траектории. В связи с этим повышенной актуальностью будут обладать уже в самом ближайшем будущем орбиты, которые позволяют осуществлять долгосрочные проекты с минимальным расходом рабочего тела. Один из классов таких орбит, называемых F-орбитами, исследован в предлагаемой статье. Вследствие устойчивости орбит указанного класса, минимально возможной для перелета на эти орбиты оказывается двухимпульсная схема.

Уравнения движения и объект исследования. Был рассмотрен случай движения пассивно гравитирующего тела малой массы под воздействием сил притяжения двух других тел большей массы. В данном случае уравнения движения указанного пассивно гравитирующего тела могут быть записаны в рамках ограниченной задачи трех тел. Для численных исследований одной из наиболее подходящих форм записи уравнений движения является форма, использующая  неравномерно вращающуюся (пульсирующую) барицентрическую систему координат в безразмерных величинах при расстоянии между основными телами (меньшего массы , в дальнейшем обозначаемого P₂ и большего массы , в дальнейшем обозначаемого P₁) принятом равным 1, истинной аномалии меньшего тела обозначенной , постоянной тяготения равной 1. Ось абсцисс направлена от меньшего тела к большему, ось аппликат перпендикулярна плоскости обращения тел, а ось ординат дополняет систему координат до правой [1]:

,      (1)

где силовая функция определена как

Система уравнений (1) может быть проинтегрирована численно при различных начальных условиях движения малого тела. При этом на сегодняшний день известно лишь пять стационарных решений системы уравнений (1), называемых точками либрации, в окрестности которых могут быть построены почти периодические орбиты. На протяжении многих лет проводились исследования задачи трех тел в различной постановке с целью определения и других периодических решений уравнений (1). Так, например, в классической работе В.Себехея по задаче трех тел [2] представлен класс орбит F так называемой Копенгагенской категории, существующих в области между двумя притягивающими телами и имеющими разные характеристики устойчивости. Указанный класс орбит может быть определен не только в случае равенства масс основных притягивающих тел, но и при другом их соотношении, в частности, рассматриваемом в данной работе случае системы Солнце-Земля. Астрономические наблюдения подтверждают наличие малых тел, обращающихся по орбитам указанного класса. Так, в 1986 году был открыт астероид 3753 Cruithne, обращающийся по орбите рассматриваемого класса. В 2002 году был обнаружен небольшой астероид 2002 АА29, также обращающийся по орбите указанного класса. Названные небесные тела обращаются по возмущенным орбитам F-класса, не являющимся периодическими или почти периодическими на относительно малых отрезках времени, сопоставимых с периодом обращения Земли.

Семейство периодических орбит F-класса может быть построено численным интегрированием с применением процедуры дифференциальной коррекции с учетом того, что в точке пересечения оси абсцисс, вектор скорости перпендикулярен данной оси.

Семейство орбит F-класса и график изменения периода орбит этого класса представлены на рис. 1.

Рис. 1. Семейство орбит F-класса системы Солнце-Земля

Энергетическая характеристика орбит F-класса.

Вследствие неравномерности вращения системы координат, для эллиптического случая ограниченной задачи трех тел не может быть получен интеграл Якоби. Однако, как показывают вычисления, для орбит F-класса, значение, даваемое функцией Якоби, являющейся аналогом указанного интеграла, изменяется в пределах 10^-4 % и таким образом может считаться постоянным. Орбиты F-класса, проходящие через точки либрации имеют постоянную Якоби, равную 3, и, таким образом, с точки зрения энергетики, внешние орбиты F-класса располагаются вне ограничений, в отличие от орбит, принадлежащих внутренней области меньшего притягивающего центра.

На рис. 2. показана орбита F-класса, наложенная на трехмерное представление поверхности Хилла. Возмущенные орбиты F-класса располагаются вдоль орбиты Земли (P₂), которая окружена слоистым энергетическим тором, имеющим расширения в области собственно самой Земли, что хорошо видно на рисунках 2 и 3. Движение пассивно гравитирующего тела возможно только в тех областях, где его энергии, определяемой функцией Якоби, достаточно.

Рис. 2. Поверхность Хилла и орбита F-класса, проходящая через коллинеарные точки либрации

Рис. 3. Пример орбиты F-класса, охватывающей точки либрации; функция Якоби Г не является постоянной

Рис. 4. Возмущенная орбита F-класса; показаны кривые Хилла

Двухимпульсные перелеты на орбиты F-класса

Как было показано автором ранее [3], орбиты F-класса проявляют различные признаки устойчивости. Несильно возмущенные орбиты F-класса не покидают окрестности орбиты меньшего притягивающего тела в течение значительного времени и пассивно гравитирующее тело продолжает движение в энергетическом коридоре, зависящем от параметра Якоби орбиты. Как показали численные исследования, потребный импульс характеристической скорости для схода с такой орбиты может составлять от 90 м/с и выше в зависимости от степени устойчивости орбиты. Таким образом схема одноимпульсного перелета с круговой орбиты ожидания на орбиту F-класса оказывается принципиально невозможной.

В исследовании была использована следующая схема выделения из множества существующих орбит удовлетворяющих заданным требованиям двухимпульсных перелетов. В качестве исходной орбиты рассматривалась орбита F-класса с параметром R_x — координатой левой точки пересечения орбитой оси x. Далее проводилось численное интегрирование уравнений (1) для возмущенной орбиты в обратном времени. Таким образом, точки, в которых вносится возмущение по скорости, соответствуют второму импульсу — импульсу входа на орбиту. Импульс в точке старта рассчитывается из условия минимизации характеристической скорости при старте с круговой орбиты ожидания. Карты параметров и примеры орбит перелета, для которых возможен старт с низких круговых орбит ожидания из окрестности Земли приводятся на рис. 5-6. Карты параметров наглядно показывают существование трех вариантов траекторий перелета из окрестности Земли на орбиты F-класса, отличающихся потребным импульсом характеристической скорости.

Рис. 5. Карты параметров орбит перелета со стартом с низких круговых орбит ожидания

Рис. 6. Примеры орбит перелета на орбиты F-класса с низких круговых орбит ожидания

Анализ практического применения орбит F-класса

1. Орбиты рассматриваемого класса на значительном отрезке параметра R_x (от 0.94 а.е. и вплоть до 0.99 а.е.) достижимы для современных ракетоносителей, а потому могут быть использованы для практических целей.

2. Характер устойчивости орбит говорит о том, что выведенные на них космические аппараты могут без значительных затрат импульса характеристической скорости на коррекцию выполнять научные, исследовательские и другие программы в течение всего времени эксплуатации, определяемого конструкцией этих аппаратов. При этом общее время функционирования систем может составлять десятки лет.

3. В случае выведения на рассматриваемые орбиты группировки космических аппаратов существует принципиальная возможность синхронизации их движения с целью проведения высокоточных интерферометрических и других измерений со сверхбольшой базой.

4. С помощью долгоживущих космических аппаратов, выведенных на орбиты F-класса, можно осуществлять передачу и получение данных, координировать работу других космических аппаратов, функционирующих в окрестностях коллинеарных точек либрации, расположенных у меньшего притягивающего тела.

5. В будущем возможно использование орбит F-класса для сборки сверхбольших космических аппаратов, отправляемых в дальний космос через энергетический коридор, предоставляемый точками либрации, либо для постройки автономных космических станций длительного времени существования с возможностью их модернизации и расширения.

Литература

1. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике.
/ В.К. Абалакин [и др.] ; Под ред. Г.Н. Дубошина. — М.: Наука, 1976. — 864 с.

2. Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трех тел : / пер. с англ. / Под ред. Г.Н. Дубошина. — М.: Наука, 1982. — 656 с.

3. Звягин Ф.В. Об одном классе орбит в задачах трех и четырех тел // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Приборостроение. — 2010. — №2. — С. 105—113.