НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 629.78.086

МГТУ им. Н.Э. Баумана

pk-bmstu@ya.ru

Постановка задачи

С течением времени все больше возрастает актуальность исследования космического пространства из областей, расположенных на границе сферы действия Земли. Кроме минимальных гравитационных возмущений вследствие того, что в этих областях наблюдается равновесие сил притяжения Земли и Солнца, эти области характеризуются отсутствием космического мусора, а также незначительным уровнем радиосигналов антропогенного происхождения, что позволяет использовать их для проведения экспериментов по изучению космического пространства с внесением минимума побочных «паразитных» данных. Один из вариантов использования указанных областей состоит в выведении исследовательских КА на почти периодические  орбиты в окрестностях коллинеарных точек либрации системы Солнце-Земля, являющихся особыми точками уравнений движения задачи трех тел. Реализованные проекты космических агентств разных стран использовали одноимпульсные схемы выведения, имеющие определенные ограничения на геометрические характеристики конечной орбиты. Такие ограничения, как показано в представляемой работе, могут быть сняты использованием двухимпульсных схем перелета.

Уравнения движения

Уравнения движения ограниченной задачи трех тел в неравномерно вращающейся (пульсирующей) барицентрической системе координат в безразмерных величинах при расстоянии между основными телами (меньшего массы  и большего массы  ) принятом равным 1, истинной аномалии меньшего тела обозначенной , постоянной тяготения равной 1 могут быть записаны как [1]:

,      (1)

где силовая функция определена как

При этом ось абсцисс направлена от меньшего тела к большему, ось аппликат перпендикулярна плоскости обращения тел, а ось ординат дополняет систему координат до правой.

Система уравнений (1) имеет пять особых точек, называемых точками либрации. Выделяя для дальнейшего исследования две коллинеарные точки либрации, расположенные вблизи меньшего притягивающего тела и проводя линеаризацию уравнений движения в окрестности этих точек с учетом того, что в плоской постановке задачи координаты точки либрации могут быть записаны как , можно получить линеаризованный вид уравнений в форме Гамильтона для системы уравнений (1) с началом координат, перенесенным в точку либрации [4, 5]:

                                                   (2)

где  и.

Уравнения (2) имеют одну пару точек равновесия с действительными собственными числами  и другую — с мнимыми . Гамильтониан записывается в форме:

,

где x = (x₁, x₂), y = (y₁, y₂) и O_n(·,·) обозначает члены разложения порядка n и выше. Тогда, в соответствии с теоремой Ляпунова—Мозера, решение линеаризованных уравнений может быть записано как [5]:

где постоянные   — начальные условия. Функции x₁y₁ и  постоянны вдоль решений. Собственные числа линеаризованной системы имеют форму  и , где  и  положительные постоянные. Соответствующие им собственные векторы

где  и  постоянные, причем  и.Используя собственные векторы  рассматриваемого пространства состояний как новые оси координат , получающиеся из старой системы координат линейным преобразованием, записываем уравнения в новой системе координат, причем решения уравнений в новой системе имеют вид [4, 5]:

где постоянные  и  — начальные условия. Линеаризованные уравнения имеют дополнительные интегралы, а именно:  и  являются постоянными вдоль решения. Проводя подробный анализ структуры фазового пространства, можно показать, что в окрестности коллинеарной точки либрации существует девять классов орбит, которые можно сгруппировать в четыре категории.

1. Начало координат , соответствует периодической орбите, называемой ляпуновской орбитой (плоская периодическая гало-орбита в окрестности точки либрации).

2. Четыре полуоткрытых сегмента осей гиперболы  соответствуют четырем потокам орбит, асимптотически стремящимся к ляпуновской орбите либо в прямом , либо в обратном  времени — асимптотические орбиты.

3. Сегмент гиперболы, определяемый как  соответствует двум потокам орбит, пересекающим окрестность коллинеарной точки с переходом из области движения вокруг меньшего притягивающего тела в область движения вокруг большего  и наоборот — транзитные орбиты.

4. Сегмент гиперболы, определяемый как ,соответствует двум потокам орбит, каждый из которых остается в окрестности своего притягивающего тела — нетранзитные орбиты.

При этом ляпуновские орбиты являют собой конечную цель перелета, асимптотические орбиты могут быть использованы и используются для выведения КА на ляпуновские орбиты по одноимпульсной схеме, транзитные орбиты могут быть использованы для построения двухимпульсных схем перелета на ляпуновские орбиты.

В ставшей классической работе М.Лидова и соавторов [2] показано, что при выведении КА в окрестность точки либрации по одноимпульсной схеме, то есть с использованием асимптотических орбит, минимальная амплитуда получаемой ляпуновской орбиты не может быть меньше 200000 км, что соответствует координате точки пересечения орбитой оси x R_x =0.98856 а.е.

Используя линеаризованное приближение начальных условий движения по ляпуновской орбите, методом дифференциальной коррекции могут быть получены численные решения уравнений (1) для всей области существования этих орбит. Рассматривая каждую из полученных ляпуновских орбит как пересечение двух многообразий — неустойчивого многообразия  и устойчивого многообразия , могут быть получены численно траектории движения малого тела как из окрестности точки либрации  — в прямом времени, так и в окрестность точки либрации  — в обратном времени.

В устойчивом многообразии  можно выделить набор орбит с заданными свойствами. Каждая орбита из многообразия может быть представлена как функция времени. Для рассматриваемого плоского случая задачи имеем:

,

где n — количество точек, в которых производится возмущение параметров ляпуновской орбиты по скорости, k — количество дискрет отклонений угла вектора по скорости, m — количество дискрет отклонений по модулю вектора скорости. Для всех орбит  проводится процедура определения минимума импульса характеристической скорости по времени t при ограничениях на удаление от меньшего притягивающего центра:

при условии

где R_m — предельный радиус круговой орбиты ожидания, R_E — минимальный радиус круговой орбиты ожидания, на которую выведен КА в окрестности Земли. Отобранные по указанным критериям орбиты перелета задаются своими начальными условиями на время  и интегрированием в прямом времени получаются орбиты перелета на плоскую периодическую орбиту в окрестности точки либрации. При этом суммарный потребный импульс характеристической скорости может быть определен как: , где  — модуль импульса характеристической скорости в точке входа на гало-орбиту. Для исследования полученных множеств орбит , удовлетворяющих наложенным ограничениям, удобно использовать карты параметров, показывающих зависимости характеристик указанных орбит от начальных условий интегрирования дифференциальных уравнений задачи, в том числе таких как точки и направления приложения импульсов, время перелета и т.д. На рис. 1 приводятся некоторые карты параметров 14 248 орбит перелета с круговых орбит ожидания различного радиуса на плоскую периодическую гало-орбиту вокруг точки либрации с параметром R_x = 0.9895 а.е. для характеристических импульсов скорости в точке старта , в точке выхода на орбиту , суммарного импульса характеристической скорости , времени перелета t₁ и расстояния точки старта от меньшего притягивающего центра R_start.

Рис. 1. Карты параметров орбит перелета для R_x = 0.9895 а.е.

Так как статистическое распределение по параметрам не позволяет провести классификацию орбит перелета, была использована функция кластеризации, использующая функцию Якоби в форме, данной Маршалом [3]:

Рассматривая интеграл по времени от разности функции Якоби для движущейся и покоящейся точек, имеющих одни и те же координаты:

являющихся координатами точек рассматриваемых орбит перелета, оказывается возможным провести кластеризацию орбит перелета по параметру .

Пример распределения орбит перелета по параметру Г_to демонстрирует рис. 2. По указанному параметру орбиты перелета четко кластеризуются. Обозначенные точки соответствуют орбитам перелета, приводимым на рис. 3.

Были выделены орбиты перелета, на которые возможен старт с низких круговых орбит ожидания, построены карты параметров, проведена кластеризация орбит. Карты параметров демонстрируют возможность одноимпульсного перелета для гало-орбит с параметром R_x < 0.9888 и возможность достижения сколь угодно малой окрестности точки либрации с выходом на гало-орбиту посредством двухимпульсного перелета.

Рис. 2. Карты распределения орбит перелета по параметрам.
По расстоянию от меньшего притягивающего центра и Г_to (вверху);
по суммарному потребному импульсу характеристической скорости и Г_to, функция кластеризации (красная линия)
и гистограмма распределения орбит по параметру Г_to (внизу).

Рис. 3. Орбиты перелета. Нумерация соответствует рис. 2.

Выводы

Проведенное исследование показало, что существует принципиальная возможность получения гало-орбит сколь угодно малого радиуса в окрестностях коллинеарных точек либрации системы Солнце-Земля по двухимпульсной схеме выведения при сравнимом с одноимпульсными схемами выведения значении импульса потребной характеристической скорости.

Литература

1. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике.
/ В.К. Абалакин [и др.] ; Под ред. Г.Н. Дубошина. — М.: Наука, 1976. — 864 с.

2. Одноимпульсный перелет на условно-периодическую орбиту в окрестности точки L2 системы Земля–Солнце и смежные задачи / Лидов М.Л.[и др.] // Космич. исслед. 1987. — Т. 25. — № 2. — С. 163–185.

3. Маршал К. Задача трех тел. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 640 с.

4. Dynamical Systems, the Three-Body Problem and Space Mission Design. / Wang Sang Koon [et al.] // International Conference on Differential Equations. — Berlin. — 1999. — P. 1167—1181.

5. Libration Point Orbits and Applications / Gomez M.W. [et al.]. — World Scientific Publishing Company. — 2003. — 671 p.