НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК.00000  330.4 (078.8)

МГТУ им. Н.Э.Баумана

chernshv@bnstu.ru

            В современной социально-экономической системе существует множество различных рынков: рынок товаров и услуг, рынок денег, рынок энергетических ресурсов, рынок трудовых ресурсов, и другие, в том числе  рынок криминальных услуг. В связи с этим важное значение имеет моделирование рынка. Для аналитической оценки рыночной цены применяются различные модели рынка. Среди них известны динамическая паутинообразная модель и модель общего равновесия Л. Вальраса [1]. Известная динамическая модель имеет линейный характер, а модель общего равновесия, как следует из названия, в отличие от первой предполагает равновесие на рынке. Целью настоящей статьи является создание модели рынка, которая бы использовала преимущества обеих указанных моделей и учитывала нелинейность процесса формирования цены.

Свое название паутинообразные модели получили из-за «паутины», образующейся на графике в ходе изменения цены на рынке, который изображен на рис. 1.

Рис.1. Паутинообразная траектория установления рыночной цены

Рассмотрим его смысл. На первом этапе задается начальная цена, которой соответствует какое-то значение спроса; предложение, соответствующее этому уровню спроса, существует при большем значении цены, которому соответствует другой спрос (меньший), а его уровню - предложение при меньшем значении цены и т.д. В конце концов получившаяся спираль (паутина) приводит к равновесной цене, на которой приходят к согласию покупатель и продавец. Каждый этап этого приближения к равновесной цене может рассматриваться, как этап, соответствующий цене, сложившейся в некоторый момент времени. И этот процесс «торга» можно рассматривать, как процесс установления рыночной цены со временем.

В известной паутинообразной модели [1] учитывается, что на рынке равновесие имеет место только в идеале, а на практике в разные моменты времени может возникать и неудовлетворенный спрос (дефицит товара) и остатки товара, пополняющие остаток.

            Механизм изменения рыночной цены зависит от того, как идет торговля: если  есть дефицит товара, то продавец на свободном рынке повышает цену, а если товар плохо продается и возникают остатки товара, приводящие к росту остатка, то он вынужден снижать цену.

            Пусть в k-ый день разница между спросом и предложением составила

.

Если , следовательно, предложение превысило спрос и в конце дня остался остаток товара, который вместе с новой поставкой должен быть продан на следующий день. Если предположить, что уровень спроса не изменится, для его продажи необходимо снизить цену. Если   , то товара в этот день не хватило, поэтому на следующий день можно повысить цену. В целом этот механизм описывается уравнением

,          (1)

из которого следует, что цена в -ый день  будет определяться вчерашней ценой  и остатком (дефицитом) товара на вчерашний вечер . Коэффициент   называется эластичностью цены по остатку и определяется, как

.

Отметим, что (1) может определять изменение цены не только с периодичностью в один день (что было принято нами для наглядности), но и при других периодах дискретизации времени - длительных или коротких. Если же общая продолжительность рассматриваемого периода времени намного больше периода дискретизации времени , то приближенно можно считать, что цена меняется непрерывно и . В этом случае уравнение (1) можно записать в непрерывном виде:

.

Решая это уравнение относительно , получаем:

.                (2)

Здесь  - накопленный за все рассматриваемое время от  до  остаток, равный площади (с учетом знака), расположенной между кривыми  и . Константа   определяется при равенстве нулю этого остатка (), следовательно, равна равновесной цене . На рис. 2 приведены графики, иллюстрирующие изменение цены во времени при изменении спроса и предложения.

Из (2) видно, что цена зависит от остатка линейно, что в реальности имеет место лишь при малых отклонениях от точки равновесия .

При большом остатке или дефиците эта зависимость отличается от линейной, что видно из рис. 3. Поэтому ее можно аппроксимировать какой-либо математической функцией. Наилучшим образом в качестве аппроксимирующей подходит  экспоненциальная функция. В этом случае

 .        (3)

Эластичность  определяет наклон графика.

            Найдем с помощью (3) дискретную модель. Из (3) сначала получаем

,

а потом рассмотрим приращения левой и правой частей при приращении времени на :

,

откуда получаем

.                 (4)

Рис. 2. Изменение спроса, предложения, остатка и цены

Рис. 3. Зависимость рыночной цены от разности между спросом и предложением

Это уравнение определяет динамику изменения цен от прироста остатка (дефицита) не только вблизи точки равновесия, но и при ощутимых отклонениях от нее. Отметим, что при  в (4) экспоненту можно аппроксимировать линейной зависимостью и это выражение легко преобразуется в (1) при , что говорит об аналогичности моделей (4) и (1) вблизи точки равновесия. Однако для других значений  расхождения моделей увеличиваются по мере удаления от равновесия – как при большом дефиците, так и при больших запасах, так как растет погрешность линейной модели.

Рассмотрим теперь модель многопродуктового рынка с учетом производителя и потребителя. Этот учет состоит в том, что в модель введены дополнительные уравнения:

уравнение, описывающеее производственную функцию

;

уравнение, описывающее прибыль производителя

;

 а также уравнение для функции полезности

;

и уравнение бюджета потребителя

,

где  - цена на  i – й продукт,  и   -  цены на трудовые ресурсы и основные фонды, соответственно,

  - коэффициенты производственной функции,  - коэффициенты функции полезности.

Если учесть при этом, что производитель стремится к максимизации своей прибыли, то есть

,

то в [2] найдено, что на многопродуктовом рынке оптимальное предложение на i – й продукт будет определяться следующим выражением

.,                      (5)

где  - цена на  i – й продукт,  и   -  цены на трудовые ресурсы и основные фонды, соответственно,

  - коэффициенты производственной функции.

            В [2] также найдено, что из условия максимизации полезности при имеющемся у потребителя бюджете , то есть

 при  ,

следует, что оптимальный спрос на i – й продукт  со стороны потребителя равен величине

.,                                              (6)

 где   - коэффициенты функции полезности.

            Подставляя (5) и (6) в (4), получаем

Полученное выражение, несмотря на свой довольно громоздкий вид, является окончательным уравнением модели. Оно определяет динамику изменения рыночных цен на многопродуктовом рынке с учетом затрат и производственной функции производителя и его стремления к максимизации прибыли, а также бюджета и функции полезности потребителя и его стремления максимизировать полезность при покупке.

 В случае изменения цен на производственные факторы (трудовые ресурсы и основные фонды) меняются, как видно из (5), и выпуски. При этом  меняются и цены на товары (см.(7)).. При изменении бюджета потребителя изменяется спрос (6), и рыночные цены также изменяются, что также следует из (7).

Так, в случае, если имеет место выполнение закона убывающей отдачи производства и эластичность производства , при повышении покупательной способности конечного потребителя, т.е. с ростом бюджета , как видно из (7), возрастают цены на товары, и, как следует из (5),возрастает и предложение. Так, например, при возрастании   в два раза, и при  , цены на товары  возрастают на 7.2%, а выпуски - на 86.6%.    В случае, когда  и отдача от расширения производства постоянна, из (5) видно, что цены на товар оказываются независимыми от предложения, соответственно и прибыли производителей в этом случае при выполнении максимальны при любых выпусках. Если же в модели применяется  эластичность, то в соответствии с (5) предложение падает с ростом рыночной цены, что противоречит рыночным законам, говорит о неправильности модели и еще раз подтверждает справедливость закона невозрастающей отдачи производства.

В заключение отметим, что данная модель рыночного звена может быть применена, как часть общей макроэкономической модели, представляющей собой  замкнутую систему управления с многочисленными обратными связями. Входными переменными такого звена являются предложение, формирующееся в производственном секторе, и спрос, формирующийся в потребительском секторе, а выходной переменной является рыночная цена. Динамика ее изменения в макроэкономической модели и будет описывать инфляционный процесс.

Литература

1. Гусейнов Р.М., Семенихина В.А. Экономическая теория. Изд-во Омега-Л, 2011.
2. Чернышев С.Л. Моделирование экономических систем и прогнозирования их развития. - М: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002.