УДК 623.4.08

МГТУ им. Н.Э. Баумана

sm4@sm.bmstu.ru

Аддитивные величины – величины, связанные с физическими объектами так, что величина, соответствующая целому объекту, всегда равна сумме величин, соответствующих его частям, вне зависимости от способа разбиения объекта. Применительно к ударным и детонационным процессам аддитивными считаются энергия и импульс.

Покажем, что для произвольных взрывчатых смесей (ВС) в зависимости от компонентов смеси и их процентного соотношения, применяя известные из теории ударных волн [1] соотношения, можно определить удельный объем смеси, плотность смеси, показатель изоэнтропы смеси, теплоту взрыва смеси, скорость детонации смеси, зная эти свойства для каждого из компонентов.

Исходными данными для решения задачи являются тип ВС (процентное содержание компонентов) и масса ВС.

Последовательность решения:

1)     определить удельный объем смеси;

2)     определить плотность смеси;

3)     определить теплоту взрыва смеси;

4)     определить показатель изоэнтропы смеси;

5)     определить скорость детонации смеси;

6)     построить ударную адиабату смеси в виде p = p(u).

Рассмотрим смесь взрывчатых веществ (гексоген с плотностью 1,8 г/см³, тротил – 1,65 г/см³, октоген – 1,89 г/см³). Остальные характеристики компонентов и инертных добавок определяем из справочной литературы.

Введем следующие величины, характеризующие смесь:

 N – число фаз;

 α_i– массовая доля i-той фазы;

– истинная плотность i-той фазы;

 m_см – масса смеси;

 m_i = α_i ^.m_см – масса i-й фазы  ;
  – объем, занимаемый i-той фазой;

– объем, занимаемый смесью;

 – объемная доля i-той фазы, при этом

 – приведенная плотность фазы i-той (масса i-й фазы в единице объема смеси), при этом

где ρ_см– плотность смеси и

,

– удельный объем i-той фазы:

  – удельный объем смеси:

Итак, приступим к расчету.

1.     Определим удельный объем смеси:

2.     Определим плотность смеси.

3.     Определим удельную внутреннюю энергию компонентов смеси.

 – удельная внутренняя энергия i-той фазы, где  

e_i– полная внутренняя энергия i-той фазы;

Е_см – удельная внутренняя энергия смеси;

– полная внутренняя энергия смеси.

Удельная внутренняя энергия смеси равна полной внутренней энергии смеси, деленной на массу смеси. Нетрудно заметить, что полная внутренняя энергия смеси в силу свойства аддитивности будет равна сумме значений полной внутренней энергии для каждой из компонент. Поскольку масса также аддитивна, запишем:

Таким образом, окончательно имеем

4.     Определим теплоту взрыва смеси.

Q_Vi– удельная теплота взрыва i-той фазы;

 Q_Vсм– удельная теплота взрыва смеси;

 – полная теплота взрыва i-той фазы.

Аналогично соображениям, изложеннным выше, запишем полную теплоту взрыва для смеси как произведение удельной теплоты взрыва смеси на массу:

Выразим полную теплоту взрыва смеси через полную и удельные теплоты взрыва каждой доли смеси:

Отсюда следует:

5.     Определим показатель изоэнтропы смеси и скорость звука компонентов смеси.

k_i – показатель изоэнтропы i-той фазы;

k_см – показатель изоэнтропы смеси

По определению показатель изоэнтропы равен

Запишем показатель изоэнтропы для смеси и проведем алгебраическое преобразование полученного выражения:

Используя выражение для удельного объема смеси v_см (1), получим:

В полученном выше выражении

c_см – скорость звука в смеси;

c_i – скорость звука в i-той фазе.

По определению скорость звука равна

Запишем выражение для скорости звука полученной смеси и преобразуем его:

Применив выражение для удельного объема смеси (1), получим:

Так как массовая доля  α_i  не зависит от давления по определению, можно вынести ее из-под знака производной. Проведем алгебраическое преобразование выражения для скорости звука смеси:

6.     Найдем скорость детонации смеси.

D_см – скорость детонации смеси;

D_i – скорость детонации  i-той фазы;

Система уравнений на фронте ДВ:

Подставим  в уравнение сохранения энергии

при P₀ = 0:

Но

Тогда:

или

Для смеси:

,

так как

и

Тогда:

Или:

Умножим и разделим на , получим:

Но  , тогда:

D_i – скорость детонации i-фазы при плотности;

k_i – показатель изоэнтропы при плотности.

Рассмотрим частный случай взрывчатого вещества с инертной добавкой.

Для двухфазной среды:

1.     Вторая  фаза занимает долю α_доб

α_основы = 1– α_доб

Тогда все уравнения примут вид:

При условии, что вторая фаза инертна (), получим

2.     Для случая инертной добавки:

На основании полученных данных можно произвести построение ударной адиабаты смеси с учетом закона сохранения импульса на фронте ударной волны:

где ρ₀ –  начальная плотность вещества;

D–  скорость ударной волны;

u–  скорость частиц на фронте ударной волны;

р₀ – давление перед фронтом ударной волны;

р –  давление на фронте ударной волны.

Для сильных ударных волн будем в этих уравнениях пренебрегать начальным давлением р₀ по сравнению с давлением в ударной волне р.

Для инертных сред зависимость для скорости ударной волны имеет вид D = D(u). В случае детонации ударная волна поддерживается энергией, выделяемой за фронтом детонационной волны, и поэтому скорость ударной волны остается постоянной и равной скорости детонации.

В соответствии с перечисленными допущениями зависимость для построения ударной адиабаты имеет вид

p = ρ₀D_смu .

Таким образом, зная параметры компонентов ВС и применяя вышеизложенную методику, можно провести расчет свойств многокомпонентных ВВ и аналитически получить его приблизительную ударную адиабату в отсутствие экспериментальных данных о таковой. Экспериментальное получение параметров ударной адиабаты довольно затруднительно, а для обучающихся и вовсе  неосуществимо. Ударная адиабата необходима для оценки поведения данного многокомпонентного ВВ при детонационных процессах, в том числе численного моделирования процессов, протекающих с участием данного ВВ.

Литература

1. Физика взрыва / С.Г. Андреев [и др.]. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. Т. 1. 832 с.