Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

77-30569/308732 Нечеткая интерполяция

# 02, февраль 2012
Файл статьи: Деменков_P.pdf (215.62Кб)
авторы: Деменков Н. П., Мочалов И. А.

УДК 517.97

МГТУ им. Н.Э. Баумана

demenkov@iu1.bmstu.ru

Введение.

Представление и обработка данных — класс математических задач, имеющих явно практическую направленность, прежде всего в области информатики, радиотехники, теории управления и связи, радиолокации, навигационной аппаратуры.

Нередко исходные данные при решении математических задач представлены рядом точек произвольной зависимости вида у(х). Сама по себе эта зависимость может быть неизвестной. Для вычисления промежуточных значений функции используется аппарат интерполяции.

Для описания неопределенностей и неконтролируемых возмущений, которые возникают при разработке различных  моделей, используемых в технических приложениях, с целью уменьшения влияния неопределенностей часто применяются методы четкой интерполяции, которые позволяют решать узкие задачи приближенных вычислений, получить устойчивые решения некорректных задач, фильтровать случайные возмущения и т.д.

Применение методов теории нечетких множеств в перечисленных выше задачах дает простые и эффективные алгоритмы.

Одним из способов фильтрации данных с неконтролируемыми возмущениями является их нечеткая интерполяция, являющаяся естественным обобщением соответствующего четкого аналога.

Алгоритмы четкой и нечеткой интерполяции основаны на использовании многочленов Ньютона и Лагранжа. С дальнейшим развитием вариационных методов решения разностных задач вычислительной математики широко используется сплайновая интерполяция.

Достигнуты также заметные успехи в решении различных задач с применением нечетких линейных систем (НЛС) в вычислительной математике, теории управления и других областях.

В настоящей работе на основе использования нечетких вычислений и теории нечетких линейных систем решена задача ньютоновской интерполяции для нечетких данных и даны условия существования сильной, слабой интерполяции и ее отсутствия.

Базовые определения.

Нечеткое число xнR1 определяется как отображение r: R1 [0,1] R1, где r(x) – функция принадлежности. Из-за отсутствия взаимной однозначности выделяются «левая» r(x)  и «правая» (x) ветви относительно r(x)=1, каждая из которых определяют уже взаимно однозначное отображение. В теории нечетких множеств используется эквивалентная уровневая форма представления нечеткого числа, задаваемая в виде обратного отображения r-1: [0,1] R1R1. Для отображения x(r), r[0,1] выделяются «нижняя» x(r) и «верхняя» (r) ветви.

Таким образом, для нечеткого числа xнR1 используется цепочка эквивалентных представлений:

xнR1r(x), r[0,1] (r(x); (x) / xR1 , r, [0,1]) (x(r), (r) / 0≤ r1).

Относительно функции r(x) должны выполняться следующие свойства

1)    Функция r(x) полунепрерывна сверху;

2)    Функция r(x) монотонно возрастает;

3)    Функция (x) монотонно убывает.

Кроме того, для x(r) должно выполняться условие x(r)≤ (r). Если x(r) имеет треугольную форму, то перечисленные свойства выполняются для остроугольного треугольника, так как не каждый тупоугольный треугольник может изображать нечеткое число. Обычно применяется обозначение

xн (x(r), (r) / 0≤ r≤1).

Арифметические операции сложения (+), вычитания (-), умножения (х) и деления (¸) для нечетких чисел  xн и  yн  определяются соотношением

xн* yн  = zн(( r(x), r(y)).

Операции сравнения больше-равно (≥), меньше-равно (≤) следуют из определения [1]. Имеем нечеткие числа xн и  yн  такие, что

xн ( x(r), (r) / 0 r1), yн ( y(r), (r) / 0 r1).

Тогда xн  yн, если

T(xн)=T(yн)=.                    (1)

Совокупность нечетких чисел образует банахово пространство [1].

Нечеткая функция φн(x) определяется как отображение

φн: R1F={r(x)},

где F – совокупность функций принадлежностей r(x). Это отображение параметризуется относительно r[0,1] и может быть представлено в виде [1]:

φн(x)=(φ(x,r), (x,r) / 0 r1).

По аналогии с выражением (1) для нечеткой функции φн(x) вводится критерий

T(φн(x))= .

Имеют место следующие утверждения:

1) Нечеткая функция φн(x) монотонно возрастает (убывает), если для любых x1 и x2 выполняется

x1x2T(φн(x1)) ≤ T(φн(x2)) (x2x1T(φн(x2)) ≤ T(φн(x1)));

2) Нечеткая функция φн(x) непрерывна для x[c,d]R1, если T(φн(x)) непрерывна;

3) Нечеткая функция φн(x) дифференцируема, если T(φн(x)) дифференцируема. Производная от нечеткой функции φн(x) равна

(x)=;

4)  Нечеткая функция φн(x) интегрируема по Риману, если T(φн(x)) интегрируема. Интеграл от нечеткой функции φн(x) равен

=.

Приведенные утверждения показывают, что нетрудно  сконструировать нечеткие аналоги основных структур классического математического анализа: нечеткие дифференциалы, нечеткие точки перегиба, нечеткие касательные, максимумы (минимумы) нечеткой функции и т.д.

Постановка задачи нечеткой интерполяции.

Задача нечеткой интерполяции формулируется следующим образом. Пусть мы имеем нечеткую функцию yн на сетке:

yн: ,

где ai, i= - четкие узлы сетки, yнi – нечеткие числа, которые заданы в уровневой форме

yнi=(yi(r), (r) / r[0,1]), i=.

Нечеткая функция yн задана в параметрической форме относительно неизвестного нечеткого вектора xн =(xн0, xн1, …, xнn)T:

yн=(a,xн),

где a=(a1, a2,…, an)T.

Задача нечеткой интерполяции состоит в нахождении нечетких компонент xнi по нечетким значениям yнi, i=. Для этого в общем случае решается нечеткая система нечетких уравнений относительно компонент xнi вектора xн:

, i=.                                                           (2)

Здесь число неизвестных равно числу уравнений системы. Рассматривается обычно два варианта задания выражения (2):

1)                          Зависимость y(a,xн) представлена в виде нечеткого обобщенного многочлена по линейно-независимой четкой системе функций Чебышева gi(x):

y(a,xн)= ;                                                                  (3)

2) Зависимость y(a,xн) является нелинейной относительно вектора xн, например, представление по нечетким тригонометрическим или экспоненциальным функциям.

По аналогии с четкой интерполяцией [2] представление (3) будем называть нечеткой лагранжевой интерполяцией, то есть это интерполяция по четкой системе функций gi(a), i= для нечетких данных:

det0.

В зависимости от способа задания функций gi(a) будем различать нечеткие интерполяции Ньютона, Гаусса, Лапласа-Эверта и другие нечеткие интерполяции.

Нечеткая ньютоновская интерполяция.

Положим в выражении (3) =, i=. Тогда нечеткий обобщенный многочлен будет иметь вид  y(a,xн)=, а нечеткая линейная система (3) для нахождения  xн0, xн1, …, xнn:

, i=.                                                                     (4)

Определитель Вандермонда имеет вид:

=0.

Поэтому по правилу Крамера получим решение нечеткой линейной системы. Выражение (4) в матричной форме будет иметь вид:

Axн=yн,                                                                                          (5)

где A=, xн =(xн0, xн1, …, xнn)T, yн =(yн0, yн1, …, yнn)T.

Система (5) решается в соответствии с методикой, которая изложена в [3]. Расширенная система имеет вид:

Sxн=yн,                                                                                            (6)

где S = – блочная матрица, в которой матрица B содержит положительные элементы матрицы A и нули – для отрицательных ее элементов, а матрица C содержит модули отрицательных элементов матрицы A и нули ее положительных элементов. В результате размерность матрицы BdimB=[2(n+1)x2(n+1)]. Вектора  xн , yн соответственно равны:

xн=(x0, …, xn, -,…, -)T, yн=(y0, …, yn, -,…, -)T .

В [3]  доказывается, что при detA0 и det[B+C]0 detS0. Поэтому решение уравнения (6) будет равно:

xн =S-1yн,                                                                                        (7)

где S-1= - блочная матрица, в которой  

D=0.5[(B+C)-1+(B-C)-1], E=0.5[(B+C)-1-(B-C)-1].

Решение уравнения (7) для xн  дает сильное решение или сильную ньютоновскую интерполяцию, если это решение удовлетворяет свойствам определения нечеткого числа. В противном случае имеем слабое решение или слабую ньютоновскую интерполяцию. Имеют место следующие утверждения:

1)                       Если  detA0, detS0 и компоненты вектора yн линейно независимы, то уравнение (7) не имеет решения и не существует соответствующая ньютоновская интерполяция;

2)                       Если  detA0, detS=0, а компоненты вектора yн линейно зависимы, то уравнение (7) имеет бесконечно много решений, из которых можно выделить сильные и слабые решения, что будет соответствовать сильной и слабой нечеткой ньютоновской интерполяции.

Рассмотрим решение задачи нечеткой ньютоновской интерполяции на примере простейших задач.

Пример 1.

Пусть в координатах (a,yн) имеем:

(-1, 1(r)), (3, 5(r)).

где yn1 и yn2 – нечеткие числа с функциями принадлежностей:

 yн1= 1(r)=(r, 2-r/ r[0,1]),  yн2= 5(r)=(4+r, 7-2r/ r[0,1]).

Необходимо найти нечеткую ньютоновскую интерполяцию 1-го порядка y(a)= = xн1a+xн2a. Выражение (5) будет в этом случае примет вид:

=,

в котором detA==40. По матрице A составляем блочные матрицы B и C:

B=, C=. Расширенная система уравнений (6) будет иметь вид:

.

Так как detA0 и det[B+C]0 detS0. В этом случае решение системы Sxн=yн существует и является единственным:

xн =S-1yн.  Расчеты по S-1дают:

D=0.5[(B+C)-1+(B-C)-1]=,

E=0.5[(B+C)-1-(B-C)-1]= . Следовательно,

S-1==и

xн =S-1yн .

Окончательно получим:

,

.

Из полученного решения видно, что x1(r)≤ 1(r) и x2(r)≤ 2(r). Следовательно, найденное решение xн1 и xн2 является сильной ньютоновской интерполяцией.

Пример 2. Взаимосвязь слабой и сильной интерполяции.

Пусть в координатах (a,yн) имеем:

(-2, 1(r)), (3, 1(βr)), где β≥0 – параметр, а yn1 и yn2 – нечеткие числа с функциями принадлежностей:

 yн1= (r,2-r/ r[0,1]),  yн2= 5(r)=(r,(β+1)-βr/ r[0,1]).

Зададим интерполяционный многочлен 1-го порядка:

y(a)= = xн1+xн2a. Выражение (5) будет в этом случае примет вид:

=,

в котором  |A|=50.

По матрице A составляем блочные матрицы B и C:

B=, C=.

Матрица S для расширенной системы уравнений (6) будет иметь вид:

S= ,  а детерминант |S|0.

Поэтому решение расширенной системы уравнений (6) существует и равно:

=.

Откуда получим:

,

Дальнейшие вычисления дают:

=1;  =1.2(β-1); =2.8-0.8β;

=0;  =0.4(1-β); =0.6(β-1).

Исходя из определения нечеткого числа, должны выполняться следующие условия:

    ,

    β≥1.

Таким образом, для нечеткой линейной системы при  1≤β≤ будем иметь сильное решение системы и, соответственно, получим сильный нечеткий интерполяционный многочлен. Например, при β=1.5, то есть находящимся в пределах ограничений, имеем сильный нечеткий интерполяционный многочлен:

.

При β=1.9, то есть выходящим за пределы ограничений, будем иметь:

,

.

В этом случае  x1(r)|r=0=1.08>1 и, соответственно, функция x1(r) является монотонно убывающей, что противоречит определению нечеткого числа (x1(r) должна быть монотонно возрастающей).

Слабое нечеткое решение uн системы находится из условий:

=

= (1; 1.28-0.28r / r[0,1]),

uн2=xн1,

а слабый нечеткий интерполяционный многочлен равен:

.

Отметим, что невырожденность матрицы A не гарантирует, что матрица B является также невырожденной.

Если расширенная матрица Cвырождена, то система уравнений (6), может не иметь решения или бесконечного множества решений. Следовательно, в этом случае интерполяция невозможна.

Заключение.

Рассмотрены общие положения нечеткой интерполяции в случае, когда значения сеточной функции задаются в виде нечетких чисел.

Из разнообразных типов интерполяции внимание акцентируется на ньютоновской интерполяции, когда для этих целей используется нечеткий степенной многочлен.

Для нечеткой ньютоновской интерполяции даются условия существования сильной, слабой нечеткой интерполяции и ее отсутствия.

Рассмотрены примеры для случая, когда степенной многочлен представлен многочленом первой степени, используемым для нечеткой интерполяции двух нечетких чисел.

Интерполяция многочленами имеет один существенный недостаток, заключающийся в появлении «краевого эффекта» на концах заданного промежутка. Для его устранения обычно используется интерполяция сплайнами различных типов. В этой связи весьма актуальной является задача получения сплайна на нечетких данных и их анализ на тип сплайна (сильный, слабый или отсутствие нечеткого сплайна).

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.                      Roy Goestdhel Jr. and Willim Voxman. Elementaryfuzzycalculus. Fuzzysetsandsystems, 18 (1986), pp. 31-43.

2.                      Марчук Г.И. Методы вычислительной математики, Учеб. пособие. Санкт-Петербург, Лань, 2009. С.608.

3.                      Menahem Friedman, Ming Ma, Abraham Kandel, Fuzzy linear systems. Fuzzy sets and systems, 96 (1998), pp. 201-209.

Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2022 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)