НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 621.396.662

МГТУ им. Н.Э. Баумана

shakhtarin@mail.ru

nastia_kov-k@rambler.ru

Введение

Принципы сигма-дельта модуляции известны еще с 80 годов прошлого века, однако наибольший интерес эта модуляция стала представлять в настоящее время.  Одним из наиболее распространенных практических приложений сигма-дельта модуляции являются устройства АЦП [1, 2, 4]. Устройства цифровой дискретизации сигналов, построенные по принципу сигма-дельта модуляции, выгодно отличаются от других аналогичных устройств в связи с простотой технической реализации и лучшими шумовыми характеристиками. Тем не менее, практическое использование сигма-дельта модуляторов не ограничивается только устройствами АЦП. Известны и  достаточно часто применяются модуляторы в синтезаторах частот для формирования дробного коэффициента деления частоты сигнала[3, 5]. Одним из преимуществ использования сигма-дельта модулятора является способность формировать шумовую полосу на высоких частотах. Посредством передискретизации с последующей децимацией выходного сигнала достаточно эффективно квантуется входной сигнал, при этом шумовая полоса достаточно просто удаляется посредствам фильтрации.

В современной литературе достаточно подробно рассматриваются принципы работы сигма-дельта модуляции [6], однако  не рассматриваются математические модели модуляторов во временной области. Основой структуры рассматриваемых в данной статье модуляторов являются устройства с интеграторами без обратной положительной связи. Данные устройства являются физически реализованными [1, 2], но ранее они не были описаны с точки зрения математического моделирования. В разделах 1 и 2 приводится математическое описание работы модуляторов, как первого порядка, так и n- го порядка. Полученные модели описывают работу физически реализованных устройств. В разделе 3 представлена наиболее распространенная схема применения принципа работы сигма-дельта модулятора в синтезаторе частот.

1. Сигма-дельта модулятор 1-го порядка

Рассмотрим структурную схему сигма-дельта модулятора приведенную на рисунке 1.  Модулятор состоит из интегратора, дискретизатора, и включенного в обратной связи цифро-аналогового преобразователя.

Рис. 1. Структурная схема сигма-дельта модулятора

В данной схеме дискретизатор представлен в виде тактируемого компаратора, который производит измерение не только по уровню компарирования, но и в момент прихода положительного импульса с тактируемого генератора.  Как правило, частота импульсов тактирования в K раз превышает частоту измеряемого сигнала. Таким образом, K является показателем передискретизации входного сигнала.

Как видно из рисунка 2, уровень дискретизации составляет {-1,1}. Наиболее полно работу данного компаратора описывает функции гиперболического тангенса.

Рис. 2. Характеристика дискретизатора

Рассмотрим математическую модель сигма-дельта модулятора представленного на рисунке 3.

Рис. 3. Математическая модель сигма-дельта модулятора

          – входной сигнал;   – ошибка квантования;  – сигнал с интегратора;  -  шум квантования;  – выходной сигнал.

Представленная на рисунке 3 структура сигма-дельта модулятора получила наибольшее распространение как схема, позволяющая описать работу сигма-дельта модулятора. С учетом сделанных ранее предположений получим математическое описание работы сигма-дельта модулятора первого порядка. Для этого рассмотрим выходной сигнал с устройства квантования в виде

 ,                                      (1.1)

где   – уровень квантования; - угол наклона характеристики дискретизатора (рис. 2); - учет задержки на обратной связи. Предположим, что входной сигнал интегратора имеет вид

,                                                    (1.2)

ошибка квантования равна

.                                         (1.3)

Учитывая (1.1) и (1.2), получим

.                                (1.4)

Решением данного дифференциального уравнения, является сигналом с интегратора. Предполагая, что  является гармоническим сигналом, получим решение уравнения (1.4) посредствам численного метода.

На рисунках 4 и 5 представлены графики работы сигма-дельта модулятора при гармоническом входном воздействии . Наиболее полное представление о работе сигма-дельта модулятора дает спектральный анализ выходного сигнала.

Рис. 4. График работы сигма-дельта модулятора

Рис. 5. График работы сигма-дельта модулятора

Рис. 6. Спектр выходного сигнала сигма-дельта модулятора первого порядка

Как видно на рисунке 6 помимо ярко выраженного всплеска анализируемого входного гармонического сигнала , видна шумовая составляющая. В литературе принято рассматривать данную шумовую составляющую, как результат ошибки квантования в квантователе. Детально процесс формирования шумовой составляющей в выходном сигнале сигма-дельта модуляторе рассмотрен в литературе [1, 2, 6, 7, 8], где основной причиной указывается вносимый шум ошибки квантователя. Однако, для анализа были взяты математические выражение (1.1-1.4) не учитывающие аддитивный шум. Таким образом, можно утверждать, что представленный метод анализа работы сигма-дельта модулятора с учетом аддитивного шума не дает полной картины работы сигма-дельта модулятора.

Рассмотрим фазовый портрет сигма-дельта модулятора первого порядка (рис. 7).

Рис. 7. Фазовый портрет сигма-дельта модулятора первого порядка

Как видно на рисунке 7, циклы непрерывно разворачиваются по фазовому цилиндру. С учетом полученных результатов при анализе хаотических аттракторов в [9] можно утверждать, что представленный тип аттрактора является хаотическим.

Рассмотрим влияние постоянного входного воздействия на сигма-дельта модулятор. Получим спектр выходного сигнала. На рисунке 8 представлен спектр выходного сигнала сигма-дельта модулятора при постоянно входном воздействии. Очевидно, что при постоянном входном воздействии на выходе сигма-дельта модулятора возникает дробность частот. Данное свойство получило широкое распространение в современном мире при построении синтезаторов частот, использующих в своей структуре ФАП.

Рис. 8. Спектр выходного сигнала сигма-дельта модулятора при постоянно входном воздействии

2. Сигма дельта-модулятор n - го порядка

Анализ работы сигма-дельта модулятора n- го порядка проведем на примере модулятора второго порядка.  На рисунке 9 представлена структурная схема сигма-дельта модулятора второго порядка.

Рис. 9. Структурная схема сигма-дельта модулятора второго порядка

Как видно, в отличие от рисунка 1 порядок модулятора определяется числом интеграторов, включенных в структуру модулятора.

Рассмотрим математическую модель, описывающую работу модулятора второго порядка.

Рис. 10. Математическая модель работы модулятора второго порядка

В математической модели, представленной на рисунке 10, в отличие от модели, представленной на рисунке 3, не учитывается аддитивный шум квантования.

Рассмотрим выражения описывающие работу приведенной схемы, с учетом (1.2) и (1.3) получим

 ,                                 (1.5)

где - напряжение после первого интегратора,

 ,                                (1.6)

где  – напряжение после второго интегратора

Тогда для модели n- го порядка получим выражение вида

,                                  (1.7)

.                                (1.8)

Решение системы уравнений (1.5), (1.6) описывает работу системы второго порядка, а решение системы уравнений (1.7), (1.8) - работу системы n- го порядка.

Решение системы приведенных уравнений в данном разделе рассматривать не будем, рассмотрим, как было выше указано, спектральную характеристику выходного сигнала модулятора второго порядка.

Как видно на рисунке 11 шумовая полоса в сигма-дельта модуляторе второго порядка принимает равномерно распределение, в отличие от рисунка 6. Также, уровень шума заметно увеличивается, а всплеск анализируемого сигнала имеет заметно выраженный характер.

Рис. 11. Спектр выходного сигнала сигма-дельта модулятора второго порядка при гармоническом входном воздействии

3. Прикладные области применения сигма-дельта модуляторов

Наиболее актуальным применением сигма-дельта модуляторов является применение в синтезаторах частот с дробным коэффициентом деления. В литературе [4] рассматривается достаточно большое число методик использования модуляторов в синтезаторах частот. Рассмотрим одно из них.

Рис. 12. Структурная схема синтезатора частот с дробным коэффициентом деления частоты

На рисунке 12 представлена структурная схема синтезатора частот с дробным коэффициентом деления частоты. ОГ - опорный генератор, ИЧФД - импульсно частотный фазовый детектор, ФНЧ - фильтр низкой частоты, УГ - управляемый генератор, Д - делитель частоты.

Сигнал с выхода делителя  является тактовым для сигма-дельта модулятора, который в свою очередь управляет коэффициентом деления  делителя. Сигнал с опорного генератора  сравнивается с сигналом   в блоке ИЧФД, в результате чего формируется сигнал ошибки. С помощью фильтра сигнал ошибки усредняется и затем  используется для управления циклической частотой управляемого генератора.

Заключение

В данной статье рассмотрен сигма-дельта модулятор с обратной отрицательной связью. Получено математическое описание работы сигма-дельта модулятора во временной области. Также получены в графическом виде спектры выходных сигналов при различных входных воздействиях. Установлено, что возникновение шумовой полосы в сигма-дельта модуляторе обусловлено тем, что модулятор представляет собой хаотический аттрактор. Рассмотрены математические модели без учета аддитивного шума, сделан вывод о влиянии порядка модулятора на уровень шумовой полосы в сторону увеличения. Также указана способность сигма-дельта модуляторов формировать дробность частот в выходном спектре. Приводятся графики основных характеристик работы сигма-дельта модуляторов при различных входных воздействиях.  

Литература

1.     Sigma-Delta (S-D) A/D Converters //New Product Application – 1999, winter edition-Analog Devices, 1998 pp 3-113-3-143

2.     Application Note AN-283: Sigma – Delta ADCs and DACs  // Application Reference Manual – Analog Devices, 1993, pp 20-3-20-18

3.     Швец В., Нищирет Ю.// Архитектура сигма-дельта АЦП и ЦАП// ChipNews 1998.№2. С. 211

4.     Шахтарин Б.И. и др//Синтезаторы частот// -М.: Горячая линия –Телеком, 2007.-128с.

5.     Gary Ushaw//Sigma Delta Modulation of Chaotic Signal// The University of Edinburgh 1998.

6.     C.C. Cutler, «Transmission system employing quantization», US Patent N 2927962, March 8, 1960

7.     H. Inose, Y. Yasuda, J. Murakami «A telemetring system by code modulation – Σ-Δ modulation» - IRE Trans. On Comm. Syst., pp 373-380, Dec 1962.

8.     S.R Norsworthy, R. Schreider, G.C. Temes. Delta –Sigma Data Converters: Theory, Design and Simulation. – NY: IEEE Press, 1997.

9.     Чернобаев В.Г. « Генераторы хаотических колебаний на основе систем фазовой синхронизации» - диссертация МЭИ (ТУ), 2001.