НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 621.37

МГТУ им. Н.Э. Баумана

shakhtarin@mail.ru

Постановка задачи

Воздействие гармонических помех на фазовую автоподстройку (ФАП) много лет привлекает внимание исследователей [1-12]. Первой работой в этом направлении является статья Журавлева А.Г. [1], посвященная экспериментальному исследованию воздействия гармонических помех на ФАП. Им выявлены условия захвата за сигнал и за помеху. В работе [2] предпринята попытка аналитического исследования, но лишь при нулевой начальной расстройке сигнала и управляемого генератора на основе метода гармонического баланса. С использованием этого метода в [3, 4] получен ряд динамических характеристик ФАП. В статье [5] приводится анализ ФАП при гармонической помехе на входе численным методом с использованием метода фазовой плоскости, и c учетом начальной расстройки по частоте двух колебаний. В [6] исследование проводится методом усреднения. В работах [7-9] с учетом начальной расстройки между частотами сигнала и управляемого генератора приближенным методом получен ряд динамических характеристик ФАП в зависимости от интенсивности помехи и параметров ФАП первого и второго порядков.

В книге автора [7] ФАП исследовалась методом гармонического баланса, когда предполагаемое решение дифференциального уравнения (ДУ) ФАП [7]

                                (1)

принималось в виде

                         (2)

В (1)  - оператор дифференцирования; t₁,c – время; Ω – полоса синхронизации ФАП;  - расстройка по частоте  между частотой сигнала  и частотой управляемого генератора  - расстройка по фазе помехи и сигнала;  - соответствующая расстройка по частоте; - отношение амплитуд помехи и сигнала; F(p) – передаточная функция фильтра в кольце ФАП.

Параметры предполагаемого решения (2): постоянная составляющая x₀, амплитуда первой гармоники x₁ и фазовый угол ψ в [7] находились в процессе гармонического баланса при условии малого значения амплитуды x₁ и при условии d > 1, что обусловило использование приближенных соотношений [7].

(3)

В данной статье при использовании ДУ (1) и предполагаемого решения в форме (2) используется более строгий подход, когда вместо (3) используются приближения более высокого порядка, в связи с чем повышается точность получаемых результатов: динамических характеристик и критических значений параметров ФАП и помехи. Кроме того, производится сравнение критических значений параметров ФАП, получаемых методом гармонического баланса и методом фазовой плоскости [5, 8].

1.     Основные соотношения

При использовании предполагаемого решения ДУ в виде (2) в правой части ДУ (1) получим

Воспользуемся известными разложениями

где J_n(z) – функция Бесселя n-го порядка.

Используем приближенные равенства, вытекающие отсюда при сохранении лишь первых слагаемых,

Тогда получим,

                                  (4)

Далее используем разложение второго слагаемого в квадратных скобках (1),

.

где sinx по (4), а

               (5)

Подставляя приближенные значения слагаемых в квадратных скобках в правой части ДУ (1), после дифференцирования процесса в левой части ДУ (1), получим приближенное соотношение, из которого в дальнейшем находятся постоянная составляющая x₀, амплитуда первой гармоники x₁ и фазовый угол ψ.

Предварительно положим

                     (6)

причем

Тогда подставляя (2) в ДУ (1) с учетом (4), (5), (6) получим соотношение

        (7)

где       

так как при этом отброшены вторые гармоники  и

Аналогично получим

В сумме находим

Таким образом,

Следовательно, баланс по постоянным составляющим приводит к соотношению

                                (8)

Отсюда,используя приближенные равенства

                                             (9)

получим [7, ф-ла (12.20)].

Далее осуществим гармонический баланс оставшихся слагаемых в (7).

Слева в (7) находим

Приравнивая коэффициенты при  и  слева и справа в (7), получим соотношения, определяющие искомые значения x₀, x₁, ψ.

(10)

Отсюда при условиях (9) приходим к приближенным соотношениям [7, ф-ла (12.20)].

Решим полученную систему уравнений (10)относительно функций  и .

Предварительно запишем уравнения (10) в виде системы уравнений

                                              (11)

где     

где  

Определитель системы уравнений (11) имеет вид

             (12)

Отсюда при условиях (9) приходим к [7, ф-ле (12.23)] с точностью до коэффициента()

В результате находим

где          

После преобразований Δ₁ и Δ₂ принимает вид

Таким образом, находим искомые решения системы уравнений (11)

(13)

где   Δ₀=-Δ/x₁² 

Отсюда при условиях (9) приходим к [7, ф-ла (12.21)].

По (13) находим выражения для квадрата амплитуды первой гармоники (x₁²).

                                                (14)

Отсюда при условиях (9) приходим к [7, ф-ла (12.22)].

Раскрывая в (14) значение величины Δ₀, получим

                         (15)

или при выполненных условиях (9)

                         (16)

Отсюда следует [4]

где δ=d/M.

В [4] показано, что это значение x₁ при можно аппроксимировать величиной

                                              (17)

В случае системы первого порядка, когда P=0, M=1, полагая , получим

Таким образом, формула (17) здесь справедлива при β=0 и в том случае, если выполнено условие (9)

Кривые  при ε=const, приведены на рис. 1. Кривые 1,4 – получены при ε=0.9;2,5 при ε=0.6; 3,6 при ε=0.3. При d>>1 получим асимптотическую формулу  (на рис. 1 штриховые линии)

Нетрудно убедиться, что формула (17) здесь справедлива при любом фильтре (при P≠0; M≠1), если положить и взять β=0.

Рисунок 1

При использовании в качестве фильтра низкой частоты (ФНЧ) интегрирующей цепи, имеем

где   - постоянная времени ФНЧ.

В таком случае по (17) находим ,

При d>>1, α<<1  Следовательно, при этом графики зависимости x₁=f(d) располагаются ниже кривых системы первого порядка. Заметим, что полоса захвата ФАП при отсутствии помехи при малых α₀ имеет вид  β_k=(4/π)α₀

Для дальнейших исследований необходимо найти выражения для функции sinP и cosP.

По (13) получим

Полагая cosx₀=a; sinx₀=b; cosP=x; sinP=y, решим систему уравнений

В результате получим

                         (18)

      (19)

Подставим значения cosP и sinPв формулу для Δ₀. В результате находим:

Тогда

                                                (20)

Подставляя это значение Δ₀  в (18) и (19), окончательно приходим к соотношениям

                       (21)

Найдем значение sinx₀, используя (8) и выражая сos(x₀-ψ) из (20). В результате получим

                                  (22)

Отсюда при условиях (9) приходим к [7, ф-ла (12.24)]

                                            (23)

На рис. 2а изображены зависимости при ε=0.6, a=0.8 и , где кривые 1,4 получены при β=0.8; 2,5 – β=0.5; 3,6 – β=0.2; Кривые 1, 2, 3 – при невырожденном фильтре, 4, 5, 6 – при вырожденном.  На рис. 2б изображены зависимости при β=0.5, a=0.8 и , где кривые 1,2 получены при ε=0.9; 3,4 – ε=0.6; 5,6 – ε=0.3; Кривые 1, 3, 5 – при невырожденном фильтре, 2, 4, 6 – при вырожденном. На рис. 3aизображены зависимости  при ε=0.6, a=0.8 и , где кривые 1,2 получены при β=0.8; 3,4 – β=0.5; 5,6 – β=0.2. На рис. 3б изображены зависимости при β=0.5, a=0.8 и , где кривые 1,2 получены при ε=0.9; 3,4 – ε=0.6; 5,6 – ε=0.3. На рисунках 3а,б кривые 1, 3, 5 получены при невырожденном фильтре, 2, 4, 6 – при вырожденном.

По (21) находим

   (24)

Рисунок 2а                                                         Рисунок 2б

Рисунок 3а                                                          Рисунок 3б

Тогда

                               (25)

где φ=arcsinG

Действительно,  причем плюс при d>0, минус при d<0, так как cosP>0 и

Зависимости  изображены на рис. 4, при ε=0.6 a=0.8 и , где кривые 1, 3, 5 получены при невырожденном фильтре; 2, 4, 6 – при вырожденном. Кривые 1, 2 получены при β=0.8; 3, 4 -  β=0.5; 5, 6 -  β=0.2.

Поэтому по (20) находим

Отсюда получим

Рисунок 4

Тогда

                                                    (26)

Тогда используя равенство (20), по (13) находим

                                            (27)

где  

Найдем приближенные значения параметров колебаний x₀, x₁, ψ

По (16) при d>>1 следует

                                                  (28)

Отсюда при J₀(x₁)=1 получим [7, ф-ле (12.25)]

Поскольку x₁J₁(x₁) ~ x₁² ~ 1/d², то по (21) находим приближенную формулу

                                                    (29)

При малых x₁ (при больших помеховых расстройках d>>1), когда J₁(x₁) ≈ x₁/2 по (24) получим  Отсюда при d>>1 с учетом значения x₁ по (27) находим G≈sinP и φ=P; ψ₁≈x₀+P [7, ф-ла (12.27)].

Таким образом, получены соотношения для всех трех параметров x₀, x₁, ψ, предполагаемого решения.

2.     Критические значения параметров

Найдем критические значения первой гармоники x₁=x_1k и отношения помеха/сигнал ε=ε_k, которые определяют условия срыва синхронизации:

                                          (30)

При учете второго условия по (16) находим . Отсюда следует

                                                (31)

При учете первого равенства в (29) находим

                                           (32)

Подставляя это значение  в (30) окончательно получим

                    (33)

Зависимость  при a=0.8 и  изображена на рис. 5, где кривая 1 получена при ФАП 1-го порядка и β=0; кривая 2 при невырожденном и вырожденном фильтре и β=0;  3 – ФАП 1-го порядка β=0.8; 4 - невырожденный и вырожденный фильтр и β=0.8;

Рисунок 5

По рис. 5 замечаем что при β>0 и d>0 помехоустойчивость ФАП выше, чем β>0, а d<0.

Можно показать, что условиями захвата за сигнал при действии гармонической помехи является [5]

или

С другой стороны по [9] находим

или

Причем во втором случае границы захвата по сигналу совпадают с [8] несмотря на то что получены [5,8] и [9] на основе разных критериев.

Достаточным условием захвата за помеху является условие [5]

или 

Причем левая граница во втором случае совпадает с [8].

Заключение

Таким образом, в более строгом приближении, чем в [7] получены динамические характеристики фазовой автоподстройки при наличии на ее входе гармонической помехи. Найдены зависимости параметров предполагаемого решения ДУ от параметров помехи и сигнала. Приведены соотношения для критических значений этих параметров.

Приложение

Амплитудночастотные и фазочастотные  характеристики (АЧХ и ФЧХ) фильтров низкой частоты (ФНЧ) ФАП.

Пропорционально интегрирующий фильтр (ПИФ)

АЧХ           

ФЧХ           

Вырожденный ПИФ

АЧХ           

ФЧХ           

Данные характеристики используются при построении рисунков в статье.

Литература

1.     Журавлев А.Г. Работа системы фазовой автоподстройки частоты при гармонических помехах// Радиотехника. 1963. т. 18, №9, С. 38-46.

2.     Bruno F. Tracking performance and loss of lock of a carrier loop due to the presence of a spoofed spread spectrum signal // Proceedings of the 1973 symposium on spread spectrum communications, v.1 San Diego, California, 1973, March, pp 71-75

3.     Blanchard A. Interference in phase – locked loops // IEEE Trans. On aerospace and electronic systems, 1974, v. AE S-10, N 5, p. 686-697

4.     Levitt B.K. Carrier tracking loop performance in the presence of a strong CW interference// IEEE Trans. on communications, 1981, v. COM -29, N6, p 911-916

5.     Nakagawa M. Effects of interfering signals in phase-locked loops // Frequentz, 1978, v. 32, №5, P. 146-153.

6.     Быховский М.А. Влияние помехи на процессы захвата в системе фазовой автоподстройки частоты // Радиотехника и электроника. 1987. №10 С. 2131-2141

7.     Шахтарин Б.И. Статистическая динамика систем синхронизации. М.: Радио и связь, 1998. – 488 с.

8.     Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации методом усреднения. – М.: Радио и связь, 1999.-496с.

9.     Karsi M.F., Lindsey W.C. Effects of CW interference on phase-locked   performance // IEEE Trans., 2000, v. COM-48, № 5, p. 886-896

10.  Шахтарин Б.И., Иванов А.А., Кобылкина П.И. и др. Синхронизация в радиосвязи и радионавигации. – М.: Гелиос АРВ, 2007. – 256 с.

11.  Шахтарин Б.И., Асланов Т.Г. Сравнительный анализ характеристик воздействия помех на системы синхронизации // Телекоммуникационные системы и технологии: 4-ый Межд. радиоэлек. форум. Украина, Харьков, 2011 С. 187-190.

12.  Шахтарин Б.И., Асланов Т.Г. Анализ систем синхронизации численными методами // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение 2011. - №4