НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 006.91: 539.4

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

mcxmgsu@mail.ru

vvpoduval@mail.ru

В плане успешной реализации инновационной политики метрологическое обеспечение является единственным из немногих инструментов инновационного развития науки, техники, технологий и материаловедения на важнейших направлениях их развития. Это утверждение приобретает практически важное значение при рассмотрении конкретных практических, а не «виртуальных» задач.

 Проектирование конструкций  выполняется с использованием широко распространенных программных комплексов, которые проходят аттестацию только методом тестирования в виде решения типовых задач строительной механики и представляют собой не единую интеллектуальную систему, а пакет виртуальных расчетных программ (классических формул академического характера), баз данных, графических редакторов и т.п. средств, повышающих производительность коллектива проектантов, но в принципе не поддающихся метрологическому тестированию или аттестации.

В настоящее время в указанной сфере практически отсутствуют специализированные программные продукты, в свидетельстве о метрологи­ческой аттестации которых указаны хотя бы какие-нибудь характеристики погрешности неадекватности или ее составляющие, начиная от погрешностей трансформирования и заканчивая структурными погрешностями используе­мых в этих программах математических моделей объектов. Вместе с тем в России такие комплексы зачастую воспринимаются как самодостаточные интеллектуальные системы, которые могут дополнить или даже заменить творческую инженерную компетенцию проектанта. К сожалению, в рекламных или в конъюктурных целях информация о возможном диапазоне метрологической достоверности и погрешности применения таких комплексов в реальных условиях и конструкциях не афишируется и не публикуется даже в сертификатах и протоколах аттестации и тестирования.

По этой причине целью настоящей статьи является рассмотрение метода конечных элементов (МКЭ), который реализован в больших универсальных компьютерных пакетах программ. В настоящее время МКЭ является наиболее совершенным инструментом решения сложнейших прикладных задач механики твердого тела при статических нагрузках. Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже затем было получено его математическое обоснование [1,2]. Учитывая, что МКЭ сформировался как продукт развития и на теоретической базе конечно-разностного метода Эйлера, при всех своих неоспоримых достоинствах, он обладает и определенными метррологическими ограничениями, в том числе при решении динамических задач механики твердого тела, когда при оценке текущего напряженно-деформированного состояния необходимо учитывать как скорость волнового распространения механических напряжений в твердом теле, так и нелинейные эффекты отражения, преломления, дифракции, трансформации мод колебаний, а также законы сохранения импульса для продольных и момента импульса для тангенсальных динамических напряжений и деформаций. Наряду с этим процедуры и методики сертификации широко распространенных программных комплексов (например, LIRA, SCAD, ANSYS, Cosmos, Diana, NASTRAN, marc, STRUDL, Plaxis и др.), как правило, базируются на решении тестовых задач механики твердого тела для квазистатических способов нагружения, а при решении динамических задач предполагают применение метода мгновенного статического приближения, что, зачастую, не корректно с метрологической точки зрения.

Настоящая статья посвящена оценке погрешности определения значения резонансной частоты элементов конструкции при решении ряда тонких динамических задач механики твердого тела.

Рассмотрим ограничения по применению МКЭ при вычислении значений резонансных частот колебаний тонкого и консольно-закрепленного слева стержня на рис.1.

Рис.1 Схема динамического нагружения конечного элемента стержня

Согласно выводам в работе [3] волновое движение конечного элемента стержня dx описывается уравнением динамического равновесия, которое выводится Скучиком Е. следующим образом:

где ¶u его деформация в абсолютном измерении, а Е – модуль Юнга.

Путем тривиальных преобразований, используя (1) и (2), получим

Откуда следует уравнение одномерного волнового движения в классическом виде

где  

Вместе с тем, учитывая, что модуль Юнга, определенный для статических нагрузок (1), в общем случае, должен отличаться от его динамического аналога, так как скорость движения фронта волны вдоль dx конечна, то при применении приближенных численных методов для определения скорости, можно воспользоваться выражением

которое дает точное значение только при Dt®0.

Рассмотрим эту задачу, используя формулы перемещений для бегущей одномерной продольной волны на конечном элементе dx стержня по схеме на рис.2.

Тогда в некоторых точках стержня х и x+dxамплитуда бегущей вдоль стержня волны будет достигать максимумов (которые перемещаются по стержню со скоростью волны), когда выражения в скобках

Рис.2. Схема волновых гармонических смещений вдоль оси х стержня

будут равны нулю.

То есть для первой точки

а для второй

откуда получаем приближенное значение скорости и значение ее абсолютной и относительной погрешности, так как Dх>>dx ,

а также длину волны на резонансной частоте, принимая во внимание, что для консольного стержня первый резонанс или основная гармоника возбуждается, когда длина стержня равна четверти длины волны и на свободном конце формируется кучность амплитуд колебаний, а в заделке – узел, то есть амплитуда колебаний равна нулю

Сравним полученные выражения для резонансной частоты, исходя из точного значения скорости для первой точки и приближенного для второй точки, учитывая при этом, что максимальное время пробега волны при возбуждении резонанса равно периоду резонанса

При выполнении резонансного условия

Откуда

Тогда если шаг сетки разбиения стержня на конечные элементы будет равен dx, то есть N=1, относительная погрешность вычисления резонансной частоты будет равна df_ro = 0,25.

Рассмотрим упрощенную конечно-элементную динамическую модель стержня в виде пружинного маятника, у которого масса равна

, где r - плотность, s – площадь поперечного сечения, L – длина,

а жесткость равна

так как

то тогда

Вместе с тем, согласно акустическому подходу

Таким образом погрешность самого грубого конечно-элементного способа расчета резонансной частоты будет равна

или в относительных единицах

В случае N¹1 разбиений стержня на конечные элементы

а для гармоник

где k – номер гармоники.

Тогда в зависимости от частоты разбиений стержня на конечные элементы относительная погрешность в расчете его резонансной частоты будет меняться в зависимости от числа конечных элементов по гиперболическому закону и по линейному - от номера гармоники, как показано на диаграмме на рис.3.

Рис.3.Диаграмма  зависимости относительной погрешности вычисления резонансной частоты стержня основной (сплошная кривая) третьей (пунктирная) и пятой (точечная) гармониках от частоты разбиений стержня на конечные элементы

Причем в консольно-закрепленном стержне будут возбуждаться только нечетные гармоники, в связи с тем, что один конец стержня свободный и в нем должна быть пучность колебаний (перемещений) и, соответственно, узел напряжений, то есть напряжения должны быть равны нулю (см. формы колебаний на рис.4).

Рис.4. Эпюры максимальных мгновенных деформаций при продольных резонансных колебаниях консольно-закрепленного стержня на первой (основной), третьей и пятой гармониках

Рассматривая в целом проблему динамической погрешности МКЭ и базирующихся на этом методе программных комплексов, можно сделать выводы, что при квазистатических нагрузках расчеты конструкций и схем строительной механики методом конечных элементов обеспечивают высокую достоверность, которая не подлежит сомнению.

Однако при расчетах мгновенного напряженно-деформированного состояния сложных механических колебательных систем или полей интенсивности динамических напряжений в неоднородных основаниях метод вносит существенную динамическую погрешность, что, например, неприемлемо в расчетах динамической устойчивости строительных конструкций и систем типа «объект-основание» при взрывах или сейсмических ударах, а также при возбуждении резонансных колебаний на основной резонансной частоте и ее высших гармониках.

Литература

1.         Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. –М.: МИР, 1975

2.         Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников А.М. Численные методы решения задач строительной механики. – Минск.: Вышэйшая школа, 1990

3.         Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. – М.: Мир, 1971, с.188