НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК.517.987.4

МГТУ им. Н.Э. Баумана

mathmod@bmstu.ru

Рассмотрено семейство параболических уравнений второго порядка, порожденных различными видами квантования квадратичной функции Гамильтона некоторой классической системы. Решение задачи Коши--Дирихле для рассмотренного семейства уравнений на отрезке представлено в виде гамильтоновой формулы Фейнмана, то есть в виде предела конечнократных интегралов от элементарных функций при стремлении кратности к бесконечности. Тем самым, в работе получена новая формула, пригодная для непосредственных вычислений решения поставленной задачи и компьютерного моделирования соответствующей динамики. В работе также обсуждается связь между дифференциальными операторами, соответствующими различным типам квантования квадратичной функции Гамильтона, и связь полученной гамильтоновой формулы Фейнмана с интегралами Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве.

Литература

1            Boettcher B., Butko Ya., Schilling R.L., Smolyanov O. G.  Feynman formulae and path integrals for some evolution semigroups related to tau-quantization // Rus.J. Math. Phys.  2011 to appear.

2            Бутко Я.А.   Формулы Фейнмана и функциональные интегралы для диффузии со сносом в области многообразия // Мат.  Заметки.2008 Т.83.№ 3.С.333-349.

3            Butko Ya. A., Function integrals corresponding to a solution of the Cauchy-Dirichlet problem for the heat equation in a domain of a Riemannian manifold // J. of Math. Sci. 2008. V.151. N. 1.P. 2629-2638.

4            Бутко Я.А.,  Гротхаус М.,   Смолянов О.Г. Формула Фейнмана для класса параболических уравнения второго порядка в ограниченной области //Доклады РАН. 2008.Т.78. № 1. С.590-595.

5            Butko Ya., Grothaus M., Smolyanov O.G.  Lagrangian Feynman Formulae for Second Order Parabolic Equations in Bounded and Unbounded Domains //IDAQP 2010. V.13. N. 3. P. 377-392.

6            Бутко Я.А.,Смолянов О.Г.,  Шиллинг Р.Л. Формулы Фейнмана для феллеровских полугрупп //Доклады РАН. 2010.Т.434. №1.С.7-11.

7            Butko Ya. A., Schilling R.L., Smolyanov O.G. Hamiltonian Feynman-Kac and Feynman formulae for dynamics of particles with position-dependent mass //Int. J. Theor. Phys.  2011, 2009-2018. 50.

8            Butko Ya. A., Schilling R.L., Smolyanov O.G., Lagrangian and Hamiltonian Feynman formulae for some Feller semigroups and their perturbations //IDAQP. 2011 to appear.

9            Chernoff P. Product formulas, nonlinear semigroups and addition of unbounded operators //Mem. Am. Math. Soc. 1974.140.

10          Feynman R. P. Space-time approach to nonrelativistic quantum mechanics //Rev. Mod. Phys. 1948. 20. P. 367—387.

11          Feynman R.P.  An Operation Calculus Having Application in Quantum Electrodynamics // Phys. Rev. 1951.84.P.108-128.

12          Gadella M., Smolyanov O.G. Feynman Formulas for Particles with Position-Dependent Mass// Doklady Math. 2007. 77. N.1.P.120-123.

13          Jacob N. Pseudo-differential operators and Markov processes //  Imperial College Press. 2001.Vol. 1-3.

14          Obrezkov O., Smolyanov O.G., Truman A., The Generalized Chernoff Theorem and Randomized Feynman Formula //Doklady Math. 2005. 71.N. 1. P.105-110.

15          Sakbaev V. G., Smolyanov O. G. Dynamics of a Quantum Particle with Discontinuous Position-Dependent Mass //Dokl. Math. 2010. 82. N. 1. P.630--634.

16          Smolyanov O.G., Feynman type formulae for quantum evolution and diffusion on manifolds and graphs //Quant. Bio-Informatics, World Sc. 2010. 3. P.337--347.

17          Smolyanov O.G., Shamarov N.N. Feynman and Feynman-Kac formulae for evolution equations with Vladimirov operator // Doklady Math. 2008. 77. P.345—349.

18          Smolyanov O.G., Shamarov N. N. Hamiltonian Feynman Integrals for Equations with the Vladimirov Operator //Dokl. Math. 2010. 81. N. 2. P.209—214.

19          Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Континуальные интегралы. Изд-во МГУ. Москва.  1990.

20          Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т.  Носитель симплектической меры Фейнмана и принцип неопределенности //Доклады А.Н. 1992. Т.323. № 6. С.1038—1042.

21          Smolyanov O.G., Tokarev A.G., Truman A. Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula // J. Math. Phys.  2002. 43. N. 10. P. 5161-5171.

22          Smolyanov O.G., Weizsacker H.v. and Wittich O., Diffusion on compact Riemannian manifolds, and surface measures //Doklady Math.2000.61. P.230--234.

23          Smolyanov O.G., Weizsacker H. v., Wittich O.  Brownian Motion on a Manifold as Limit of Stepwise Conditioned Standard Brownian Motions //Stochastic Proceses, Physics and Geometry: New Interplays. II: A Volume in Honor of Sergio Albeverio. Ser. Conference Proceedings. Canadian Math. Society. Providence: AMS. 2000. 29.P.589-602.

24          Smolyanov O.G., Weizsacker H.v., Wittich O. Chernoff's theorem and the construction of semigroups //Evolution Equations: Applications to Physics, Industry, Life Sciences and Economics. Proc. 7th Intnl. Conf. Evolution Eqs and Appl., Levico Terme, Italy, Oct./Nov. 2000. Birkhauser, Prog. Nonlinear Differ. Eq. Appl.  2003.55. P.349-358.

25          Smolyanov O.G., Weizsacker H.v., Wittich O.  Surface Measures and Initial Boundary Value Problems Generated by Diffusions with Drift //Doklady Math. 2007. 76. N. 1. P.606-610.

26          Smolyanov O.G., Weizsacker H. v., Wittich O. Chernoff's Theorem and Discrete Time Approximations of Brownian Motion on Manifolds  // 2007. Potent. Anal. 26. N. 1. P. 1-29.

27          Telyatnikov I.V., Smolyanov O.G., Weizsacker H.v. surface measures generated by diffusions on the set of trajectories in Riemannian manifolds //IDAQP 2008. 11. N .1. P.21-31.

28          Рид М.,  Саймон Б. Методы современной математической физики. Издательство Мир. Москва.1977.  т.1

29          Рид М.,  Саймон Б. Методы современной математической физики. Издательство Мир. Москва.1977.  т.2