НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 551.501

МГТУ им. Н.Э. Баумана

belov@bmstu.ru

gorod@bmstu.ru

ekomonit@bmstu.ru

fed@bmstu.ru

В настоящее время существует множество методов для измерения толщины и оптических характеристик нанопленок на подложках: ренгеновская фотоэлектронная спектроскопия и рефлектометрия (см., например, [1-3]), атомно-силовая микроскопия (см., например, [4,5]), эллипсометрия (см., например, [2,3,6]), интерференционные методы (см., например, [3,7-9]), различные спектрофотометрические методы (см., например, [10-13]) и другие. Разработанная на их основе аналитическая аппаратура позволяет измерять толщину пленок от единиц (и даже менее) нанометров до сотен нанометров (и более).Основные недостатки существующих методов и приборов - сложность (а значит и большая стоимость) и трудность создания на их основе встраиваемой технологической аналитической аппаратуры.

Спектрофотометрические методы измерения толщины и оптических характеристик нанопленок на подложках потенциально являются наиболее простыми (по сравнению с другими методами). Однако существующие спектрофотометрические методы требуют либо непрерывные измерения коэффициента отражения (с момента начала роста пленки), либо одновременное измерение отражения и пропускания образца (пленки на подложке), либо измерения при разных углах падения излучения на образец, либо измерения коэффициента отражения (при нормальном падении излучения на образец) в широком спектральном диапазоне.

Ниже описан лазерный спектрофотометрический метод измерения толщины и показателя преломления прозрачных нанопленок на подложке, основанный на определении первой производной (по длине волны) коэффициента отражения системы «воздух (вакуум) - пленка - подложка» и использующий один лазер, перестраиваемый по длине волны в узком спектральном диапазоне. Метод использует только спектральную информацию о коэффициенте отражения трехслойной системы "воздух (вакуум) - пленка - подложка".

Будем считать, что источник лазерного излучения облучает вертикально вниз узким пучком плоскую подложку с нанесенной на нее плоской пленкой (перпендикулярное падение лазерного излучения в большинстве случаев упрощает использование данного метода в аналитической аппаратуре, встраиваемой в технологическое оборудование). Считаем, что оптические характеристики подложки известны, поглощение подложки велико или она настолько толстая, так что отражением от другой границы (дна) подложки можно пренебречь. Объектив приемника перехватывает весь лазерный пучок, отраженный от поверхности. Тогда мощность , регистрируемую приемником, можно записать в виде:

,                                                     (1)

где:

 - мощность, излучаемая источником;

 - коэффициент отражения трехслойной системы «воздух - пленка - подложка»;

 - длина волны излучения.

При вертикальном падении излучения для коэффициента отражения трехслойной системы «воздух - пленка - подложка»  имеем [14,15]:

,                      (2)

где:

; ;

; ;

– показатели преломления и поглощения пленки и подложки, соответственно;

,  - коэффициенты отражения на границе сред «воздух - пленка» и «пленка - подложка», соответственно ( в формуле для  знак плюс берется, когда >, в другом случае берется знак минус);

 - пропускание пленки;

 - толщины пленки.

            Ограничимся рассмотрением случая тонких прозрачных пленок . Тогда выражение для  упрощается:

.                              (3)

Рассмотрим сначала случай, когда показатель преломления пленки точно известен.

1. Показатель преломления пленки точно известен (известен его спектральный ход или известны его значения на возможных длинах волн излучения).

В этом случае толщину пленки можно определить непосредственно из измерений коэффициента отражения на одной длине волны. Из (3) для  имеем:

.                        (4)

В Таблице 1 представлены результаты математического моделирования - среднеквадратические значения погрешностей  определения толщины пленки толщины пленки из данных измерений на длине волны 0,808 мкм при погрешности измерения коэффициента отражения пленки 1%. Оптические характеристики подложки соответствовали оптическим характеристикам стекла (=1.52, =0), а оптические характеристики пленки - оптическим характеристикам кремния (=3.85, 0). В таблице приведены среднеквадратические значения погрешностей  определения толщины пленки при разном характере данных измерений коэффициента отражения , используемых в формуле (4) для вычисления .

Таблица 1.

Среднеквадратические значения погрешностей  определения толщины пленки (в %).

Из таблицы видно, что даже при одиночных измерениях погрешности определения толщины пленки невелики и их можно значительно уменьшить, проводя усреднение данных измерений. Большие ошибки при действительной толщине пленки 100 нм обусловлены периодической зависимостью коэффициента отражения  от набега фазы  в пленке. Эти ошибки во многих практических задачах можно исключить, например, проводя непрерывные измерения коэффициента отражения по мере роста пленки.

Таким образом, в случае, когда показатель преломления пленки точно известен, толщину пленки можно просто измерить (в интервале однозначности тригонометрической функции, входящей в (3)) при измерениях на одной длине волны излучения.

2. Показатель преломления пленки точно неизвестен (известен только диапазон возможных значений показателя преломления).

В этом случае задача сильно усложняется и для определения как показателя преломления, так и толщины пленки необходимо использовать дополнительную информацию. Такой дополнительной информацией может быть значение первой производной коэффициента отражения.

            Найдем, используя формулу (3), первую производную   по , учтя, что изменения по  величин ,  и  во много раз более медленные, чем изменения по  величины :

.      (5)

            Таким образом, если в эксперименте измеряется две величины – коэффициент отражения  и его первая производная  , то система двух нелинейных уравнений (3), (5) потенциально позволяет определить два неизвестных параметра трехслойной системы «воздух - пленка - подложка».

            Ограничимся случаем прозрачных пленок, для которых не только , но и , ,  (для прозрачных пленок эти условия легко выполняются). Тогда из (3), (5) получим:

,                               (6)

где:

;

; .

            Левая часть соотношения (6) зависит только от данных измерений (, ), а правая – от данных измерений, оптических характеристик подложки (, которые считаются известными), длины волны  и показателя преломления пленки . Так как в (6) входят тригонометрические функции, то в общем случае из (6) нельзя однозначно определить показатель преломления пленки. Однако, для тонких пленок в интервале однозначности ( или ) выражение (6) позволяет однозначно найти .

Если найден показатель преломления пленки, то из (3)  для тонких пленок (в интервале однозначности тригонометрической функции, входящей в (3)) можно найти толщину пленки :

,                                                        (7)

где:

.

            Таким образом, для определения показателя преломления и толщины тонких (с толщиной ) пленок на подложке необходимо провести измерение коэффициента отражения системы «воздух-пленка-подложка» и определить его первую производную. Это может быть реализовано, используя один лазер, перестраиваемый по длине волны в узком спектральном диапазоне. Производная коэффициента отражения может быть определена либо из данных измерений коэффициента отражения при дискретной перестройке длины волны (с последующим использованием, например, процедур сглаживания результатов измерений), либо из данных измерений амплитуды гармонической составляющей коэффициента отражения при плавной гармонической перестройке длины волны.

Исследование возможностей описанного лазерного метода измерения толщины и показателя преломления прозрачных нанопленок на подложке проводилось методом математического моделирования.

При математическом моделировании задавались толщина пленки, показатели преломления и поглощения пленки и подложки, диапазон изменения длины волны излучения лазера, погрешность измерения коэффициента отражения.

На рисунках 1,2 показаны погрешности   и  (в процентах) определения толщины пленки  и показателя преломления  (они находились по формулам (6),(7)) в зависимости от действительных значений толщины  и показателя преломления  в случае отсутствия шумов (отсутствия погрешностей измерения коэффициента отражения и его первой производной). Погрешности определялись как модуль разности найденных и заданных величин, деленный на заданное значение величины.

Возможный диапазон толщин пленок – от 5 нм до 100 нм. Оптические характеристики подложки соответствовали оптическим характеристикам стекла (=1.52, =0), а в возможный диапазон оптических характеристик пленки задавался равным  (=2.9 –6.8, 0). Считалось, что длина волны излучения ~0.808 мкм.

Рис. 1. Погрешности определения показателя преломления пленки в случае отсутствия шумов

Рис. 2. Погрешности  определения толщины пленки в случае отсутствия шумов

В процессе обработки данных «измерений» было учтено, что при  величина  отрицательна, а при  она положительна. Это позволило увеличить интервал однозначности измерения характеристик пленки в два раза.

Из рисунков 1,2 видно, что в идеальных условиях (когда отсутствуют погрешности измерения коэффициента отражения) алгоритм измерения (см. формулы (6), (7)) позволяет точно определять  и показатель преломления пленки  в широком диапазоне из значений. Ошибки при большой толщине и больших показателях пленки обусловлены периодической зависимостью коэффициента отражения от набега фазы в пленке.

            В условиях шумов метод измерения толщины и показателя преломления пленок, основанный на определении первой производной коэффициента отражения, из-за ошибок измерения коэффициента отражения и его первой производной становится неустойчивым в области малых толщин пленок даже в очень небольших шумах.

На рисунках 3, 4 показаны погрешности  и  в случае шумов измерения.

Рис. 3. Погрешности определения показателя преломления пленки

Рис. 4. Погрешности  определения толщины пленки

На рисунках 3, 4 приведены результаты математического моделирования в случае, когда среднеквадратические значения погрешностей измерения коэффициента отражения и его первой производной равны 0.3 %. Остальные параметры моделирования были такими же как и для рисунков 1, 2.

Из рисунков 3, 4 видно, что метод, основанный на определении первой производной коэффициента отражения, позволяет с небольшими (единицы процентов) погрешностями находить толщину и показатель преломления тонких прозрачных пленок в широком диапазоне показателей преломления (~ 3…7 и более) и толщин (~ 10…100 нм и более) пленок. Большие ошибки появляются на краях рассматриваемых диапазонов толщин и показателей преломления пленок:

- в случае больших толщин и показателей преломления пленки погрешности связаны с неоднозначность определения оптических характеристик пленки из-за периодического характера тригонометрических функций. Они могут быть уменьшены, например, проводя непрерывные измерения коэффициента отражения по мере роста пленки.

-  в случае малых толщин (~ 10 нм и менее) погрешности связаны с увеличением влияния шумов измерения при небольших набегах фазы в пленке. Они могут быть уменьшены, например, путем усреднения.

Таким образом, результаты математического моделирования показывают, что метод, основанный на определении определении первой производной коэффициента отражения, позволяет с небольшими (единицы процентов) погрешностями находить толщину и показатель преломления тонких прозрачных пленок при погрешностях измерения коэффициента отражения пленки и его первой производной 0.3 % в широком диапазоне показателей преломления (~ 3…7 и более) и толщин (~ 10…100 нм и более)  пленок.

Литература

1. Thickness measurement of SiO₂ film thinner then 1 nm by X-ray photoelectron spectroscopy / K.J.Kim [et al.] // Thin Solid Film. 2006. V. 500, P. 356-359.

2. Density thickness and composition measurements of NiO₂ – SiO₂ thin films by coupling X-ray reflectometry, ellipsometry and electron probe microanalysis-X / A. Hodroj [et al.] // Applied Surface Scince. 2006. V. 253, P. 363-366.

3. Measuring the thickness of ultra-thin diamond like carbon film / P. Lemoine [et al.] // Carbon. 2006. V. 44, P. 2617-2624.

4. Estimating the thickness of hydrated ultrathin poly (o-phenylenediamine) film by atomic force microscopy / C.-C. Wu [et al.] // Analytica Chimica Acta. 2004. V. 505, P. 239-246.

5. Thickness determination of thin and ultra-thin SiO₂ films by C-AFM IV specrtoscopy / W. Frammelsberger [et al.] // Applied Surface Scince. 2006. V. 252, P. 2375-2388.

6. Spectroscopic ellipsometry of single and multilayer amorphous germanium/aluminum thin film systems / A.A. Al-Mahasneh [et al.] // Optics Communication. 2003. V. 220, P. 129-135.

7. Spectrally resolved phase-shifting interferometry of transparent thin films sensitivity of thickness measurements / S.K. Debnath [et al.] // Applied Optics. 2006. V. 45. N 34, P. 8636-8640.

8. Thickness and optical constants measurement of thin film growth with circular heterodyne interferometry / C.-C. Hsu [et al.] // Thin Solid Film. 2005. V. 491, P. 91-95.

9. Measurement of thin film thickness by electronic speckle pattern interferometry / C. Karaalioglu [et al.] // Optics Communication. 2004. V. 234, P. 269-276.

10. Determination of the optical caostants (n and k) of inhomogeneous thin films with linear index profiles / M.F. Al-Kuhaili [et al.] // Applied Optics. 2006. V. 45. N 19, P. 4591-4596.

11. Determination of optical constants (n,k,d) of very thin films deposited on absorbing substrate / P. Gushterova [et al.] // Vacuum. 2004. V. 76, P.185-189.

12. A method for determining thickness and optical constants of absorbing thin films / D. Pekker [et al.] // Thin Solid Film. 2003. V. 425, P. 203-209.

13. Photometric methods for determining the optical constants and the thicknesses of thin absorbing films: criteria for precise and unambiguous determination of n, k, and d in a wide spectral range / T. Babeva [et al.] // Applied Optics. 2001. V. 40. N 16, P. 2682-2686.

14. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973. 719 с.

15. Дистанционный лазерный метод измерения толщины пленок нефтепродуктов на водной поверхности, основанный на определении коэффициента пропускания пленки нефти /В.И. Козинцев [и др.] // Вестник МГТУ. Приборостроение. 2006. № 2. С. 56-64.