НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 51.519.2

МГТУ им. Н.Э. Баумана

sidn_ni@mail.ru

9259988800@mail.ru

1. Введение

Дисперсионный анализ определяется как статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента, в связи, с чем область применения этого метода становится значительно шире. Несмещенной оценкой для неизвестных параметром является, как известно, сумма квадратов. Основная идея дисперсионного анализа заключается в разбиении этой суммы квадратов отклонений на несколько компонент, каждая из которых соответствует предполагаемой причине изменения средних ([1], гл. 3, п. 3.1.3. с. 92).

Рассмотрим разложение остаточной суммы квадратов

и докажем независимость слагаемых  и . Для доказательства нам понадобятся две теоремы и четыре вспомогательные леммы.

Лемма 1.1. Ранг произведения двух матриц  и  меньше или равен минимального из рангов матриц  и , т.е.

Доказательство. Так как по правилу умножения матриц столбцы матрицы  являются линейной комбинацией столбцов матрицы , то число линейно независимых столбцов в  не может превосходить число линейно независимых столбцов в ; следовательно, . Проведя аналогичные рассуждения для строк (строки  являются линейной комбинацией строк ), получим, что . Лемма доказана.

Следствие закона инерции квадратичных форм (о количестве инвариантов): если  является квадратичной формой от  переменных  и ее ранг равен , т.е. , то существует  линейных комбинаций переменных , например, , таких, что  и каждое  или .

Используем теорему Кохрана [1],  как простое следствие следующей теоремы.

Теорема 1.1. Пусть , где  является квадратичной формой ранга  от переменных . Тогда необходимым и достаточным условием существования ортогонального преобразования , переводящего вектор  в вектор  так, чтобы при этом

                            (1.1)

является условие .

Доказательство. Необходимость. Если такое ортогональное преобразование существует, то . Левая часть является квадратичной формой ранга , а правая часть – квадратичной формой ранга . По лемме 1.2 отсюда следует, что ранги квадратичных форм равны, т.е. .

Достаточность. Так как ранг  равен , то из следствия закона инерции квадратичных форм отсюда следует, что существует  линейных комбинаций  переменных , таких, что , где каждое  или . Для  индексы  принимают значения ; для –  и т.д. Теперь, если , то существует  линейных комбинаций , которые в матричных обозначениях можно записать так: .

Вводя диагональную матрицу  с диагональными элементами , получаем, что . С другой стороны, . Так как симметричная матрица квадратичной формы единственна, то заключаем, что , следовательно,  невырождена. Теперь докажем, что . Действительно, предположим, что . Тогда по формуле  мы можем найти значения , соответствующие значениям  при  и , а для этих значений , что невозможно. Следовательно,  и . Последнее равенство показывает, что преобразование  ортогонально. Теорема доказана.

Замечание. Условие  обеспечивает всем квадратичным формам  положительную определенность, так как при ортогональном преобразовании получается, что все их характеристические числа равны 0 или 1.

Теорема 1.2 [1]. Пусть случайные величины  независимы и имеют нормальные распределения  соответственно. Пусть далее

,

где  – квадратичная форма от переменных  ранга . Тогда  будут иметь независимые нецентральные -распределения с  степенями свободы соответственно тогда и только тогда, когда . Если через  обозначен параметр нецентральности , то значение  может быть получено заменой  на  в , т.е. если , то , где ; .

Доказательство. Необходимость. Если  являются независимыми случайными величинами, имеющими -распределения с  степенями свободы соответственно, то из определения нецентрального -распределения следует, что  имеет нецентральное -распределение с  степенями свободы. Но так как  имеет нецентральное -распределение с  степенями свободы, а , то, следовательно, .

Достаточность. Пусть . Тогда при ортогональном преобразовании  теоремы 1.1, случайные величины  снова будут независимыми и нормально распределенными. Из соотношений (1.1) и определения нецентрального -распределения следует, что  имеют независимые нецентральные -распределения с  степенями свободы соответственно. Теорема доказана.

2. Вспомогательные теоремы и леммы

Предположим, что пространство значений случайных величин разбито на конечное число r частей  без общих точек, и пусть  - соответствующие вероятности  , .

Будем предполагать, что все . Обозначим через  число наблюденных значений случайных величин – X принадлежащих множеству .

Рассмотрим вектор (). В качестве меры расхождения между эмпирическим и теоретическим распределением рассмотрим выражение , где коэффиценты  могут быть выбраны более или менее произвольно. Пирсон показал ([2] гл.10.6, с.261, [3] , что если  , то полученная мера

                                           (2.1)

обладает чрезвычайно простыми свойствами.

Теорема 2.1. При  распределение  стремится к распределению  с r – 1 степенями свободы.

На основании этой теоремы по заданному уровню значимости a находят по таблицам число  из условия

                                                              (2.2)

Гипотеза  отвергается, если вычисленная по выборке величина .

При доказательстве теоремы нам потребуется следующая лемма.

Лемма 2.1. Пусть - целые неотрицательные числа, причем . Число способов, посредством которых n элементов могут разделены на r групп, из которых первая содержит  элементов, вторая  элементов, …,  элементов равно .

Доказательство. Первую группу из  элементов можно выбрать  способами. После того, как образована первая группа, остается n -  элементов. Поэтому вторую группу из  элементов можно выбрать  способами и.т.д. После образования r – 1 группы остается  элементов, которые и образуют последнюю группу. Таким образом, число всех возможных способов, посредством которых n элементов могут быть распределены на r групп, из которых первая содержит  элементов, … ,  содержит  элементов, равно

 .

Используя формулу  , получим утверждение леммы.

Доказательство. Результат любого испытания с вероятностью будет принадлежать множеству . Поэтому, на основании леммы 2.1, вероятность того, что в процессе n независимых испытаний  значений будет принадлежать множеству , … ,  значений будет принадлежать множеству , равно

                                                           (2.3)

Это выражение, как легко видеть, является общим членом разложения . Совместное распределение случайного вектора  задается (2.3) и является полиноминальным распределением. Найдем характеристическую функцию с полиноминальным распределением. Имеем

Введем новые величины  , . Тогда, очевидно, , . Найдем характеристическую функцию случайного вектора . Имеем

            (2.4)

Далее, для любых фиксированных  получим

(2.5)

Из разложений  ,  ,  и из (2.6) следует

_(2.6)

Таким образом, из (2.6) получаем

                    (2.7)

Квадратичная форма  имеет матрицу , где Iобозначает единичную матрицу, а P – вектор – столбец, заменяя  новыми переменными  с помощью ортогонального преобразования, при котором  , получим .

Итак, квадратичная форма  неотрицательная и имеет ранг r – 1 , т.е. при  совместная характеристическая функция величин  стремится к выражению , являющемуся характеристической функцией некоторого несобственного нормального распределения ранга  r – 1 , в котором вся масса сосредоточена на гиперплоскости  .

Из теоремы непрерывности следует, что в пределе величины  имеют несобственное нормальное распределение с нулевыми, средними и матрицей вторых моментов . Отсюда получаем, что в пределе величина  имеет распределение  степенями свободы, ч.т.д.

3. Нецентральное хи-квадрат распределение

Рассмотрим случай, когда у₁, у₂,…, у_n — независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение со средним  (i=1, 2,…,n) и дисперсией 1, т. е.

~N () (i=1, 2,…,n). Тогда распределение случайной величины

называется нецентральным -распределением [1-3].

Величина представляет собой радиус гиперсферы в n-мерном пространстве [1,4].

Распределение случайной величины u зависит только от параметров nи . Поэтому его также называют нецентральным -распределением с n степенями свободы и параметром нецентральности [2,5,6]. В этом случае, следуя [4], случайную величину u будем обозначать

.

Если , т. е.  (i=1, 2,…,n), то распределение случайной величины u называют центральным -распределением или просто -распределением с n степенями свободы и случайную величину u будем обозначать

.

Пусть . Величину  называют порогом или  - процентной точкой  - распределения с n степенями свободы. Ее значения для различных  и n[5,6]. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины  равны

.

Если  и  — независимые случайные величины, то из определения нецентрального -распределения сразу следует, что их сумма имеет нецентральное  - распределение с n=n₁+n₂ степенями свободы и параметров не центральности .

4. Результаты

Для доказательства независимости слагаемых  и  приведем следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 4.1. Ранг суммы квадратичных форм не превосходит суммы их рангов.

Доказательство. Достаточно показать, что если  и  являются матрицами одного порядка и ранг  равен , то . Для векторного пространства, порожденного столбцами , выберем базис из  векторов. Тогда так как столбцы  равны суммам соответствующих столбцов  и , то они являются линейными комбинациями  векторов двух базисов; следовательно, число линейно независимых столбцов в  не может превосходить . Следовательно, . Лемма доказана.

Следствие. Если , где ранг  меньше или равен , , и если , то , .

Доказательство. Оно следует непосредственно из леммы 4.1. С одной стороны

,

а с другой стороны

Следовательно,

При условии , , выполнение последнего равенства возможно только тогда, когда , , что и доказывает следствие.

Лемма 4.2. Если  является квадратичной формой от переменных  и может быть выражена как квадратичная форма от переменных , являющихся линейными комбинациями , то .

Доказательство. Пусть  и , где  и  симметричны. Тогда из равенства  следует, что , а по лемме 1.1 получаем: . Так как  – матрица размера , то . Лемма доказана.

Используя приведенные выше утверждения, приступим к доказательству независимости  и . Так как , то

,                                                             (4.1)

где ; .

Определим ранги квадратичных форм ,  и . Так как , то [1,2,6]. Перейдем к анализу квадратичной формы

.

Введем переменные , ; . Очевидно, что

.

Так как , то , поэтому

.

Таким образом,

.

Как видно из этого выражения,  является квадратичной формой от  переменных , ; , где . Поскольку переменные  являются линейными комбинациями , то, применяя лемму 4.2, получаем

.

Следуя аналогичной схеме рассуждений для , применяя лемму 4, находим

.

Действительно, квадратичная форма  от переменных  после некоторых преобразований может быть записана в виде , где  – -мерный вектор, а .

Но и без этого на основании следствия леммы 4.1, так как , получаем ; ; .

В силу того, что случайные величины , , , независимы и имеют нормальное распределение , где , то переход от равенства (4.1) к равенству

позволяет применить теорему Кохрана. По этой теореме случайные величины ,  и  независимы и имеют нецентральные -распределения соответственно с ,  и  степенями свободы. Таким образом, независимость  и  доказана.

Замечание. Применяя теорему Кохрана для вычисления параметра нецентральности  квадратичной формы , легко убедиться, что независимо от того, истинна гипотеза  или нет, , т.е. величина  имеет центральное -распределение:

.

Список литературы

1.Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента. М.: Радио и связь, 1883. 248 с.

2.Сидняев Н.И. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юрайт, 2011. –170-190 с.

3. Тескин О.И. Статистическая обработка и планирование эксперимента . М.: МВТУ, 1982. 75 с.

4. Математическое моделирование интенсивности теплопередачи методами теории планирования эксперимента/ Сидняев Н.И. и др.//Инженерно-физичекий журнал. -2002. -Т.75, ╧2 -С.132-138.

5.Сидняев Н.И. Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных. М.: Юрайт, 2011. –95-220 с.