УДК.539.3

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Podkopaeva.Anna@gmail.com

Рассмотрен микроактюатор в форме сферического купола, свободно опирающегося на плоскость внешним контуром (рис.1). Геометрические размеры купола имеют следующие знаяения: диаметр основания D=5 мм, радиус кривизны купола в недеформированном состоянии R_m=22,2 мм, суммарная толщина двух слоев h=0,04 мм. Слои имеют следующие физико-механические характеристики: для активного слоя: модуль упругости Е₁=1.35х10⁵ МПа, коэффициент Пуассона μ₁=0.3, температурный коэффициент линейного расширения α₁=18.0х10^-6 1/Сº. Для пассивного слоя: модуль упругости Е₂=1.50х10⁵ МПа, коэффициент Пуассона μ₂=0.3, температурный коэффициент линейного расширения α₂=1.0х10^-6 1/Сº. Т.о. купол считается тонкой пологой оболочкой.

Рис. 1. Микроактюатор в форме сферического купола

С учетом геометрических соотношений и уравнений равновесия для осесимметричных оболочек получаем основную систему уравнений:

                               (1)

где - вектор неизвестных в текущем состоянии оболочки,

u, v – горизонтальная и вертикальная составляющие перемещения,

 – угол поворота нормали,

U, V - горизонтальная и вертикальная составляющие внутреннего усилия,

 – меридиональный момент.

В основной системе уравнений (1) приняты следующие вспомогательные обозначения:

                                                                                          (2)

                                 (3)

где  - угол наклона касательной к меридиану в недеформированном состоянии.

Основной задачей, возникающей при численном анализе процесса деформирования термобиметаллических элементов, является определение рабочей характеристики, т.е. зависимости между перемещением характерной точки элемента и изменением температуры окружающей среды – T. Данная задача была решена с помощью метода продолжения по параметру. 

НДС купола описывается системами уравнений (1) – (3). В силу пологости  оболочки горизонтальными распределенными силами инерции q_u пренебрегаем.

Для возможности реализации численного счета малая область в центре купола считается абсолютно жесткой. Граничные условия соответствуют условиям шарнирного опирания:

                                      (6)

По полученным граничным условиям на каждом шаге итерации вычисляем следующие невязки:

                                                                        (7)

Имеем нелинейную краевую двухточечную задачу, которая решается методом Ньютона:

,                                                              (8)

где - вектор невязок на k-ом шаге итерации; J– матрица Якоби, вычисляемая при помощи интегрирования системы с пробными начальными векторами:

                                                              (9)

Для интегрирования системы из 6-ти дифференциальных уравнений используется метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности. Для определения сходимости итерационного процесса выбрана евклидова норма невязок:

                                                                    (10)

Решение задачи с шагом по параметру разбивается на последовательность нелинейных задач, каждая из которых решается методом Ньютона. В качестве "опорного" решения на первом шаге принимается недеформированное состояние при нулевой температуре, на втором – линейная экстраполяция решения. На всех последующих шагах по параметру начальное приближение определяется с помощью формулы Лагранжа:

  (11)

Характеристика микроактюатора представляет собой график зависимости прогиба в центре оболочки от температуры (рис. 2). Ветвь графика BD соответствует равновесным, но неустойчивым состояниям. При шаге по температуре точки B и D являются "особыми", то есть матрица Якоби становится вырожденной. В этих условиях продолжение решения  становится невозможным, поэтому за параметр продолжения принимается прогиб оболочки в центре, а температура считается зависимой переменной. Для удобства численной реализации такого приема введем расширенный вектор состояния оболочки:

                                               (12)

Рис. 2. Характеристика микроактюатора

Изменение формы деформированного меридиана оболочки при нагревании показано на рис. 3.

Рис. 3. Изменение формы меридиана микроактюатора

Решение было выполнено для последовательного ряда задач с различными радиусами кривизны. Результаты представлены на рис. 4. Сравнение характеристик ТБ-элементов для некоторых значений радиусов показано на рис. 5.

Рис. 4. Зависимость критических температур от радиуса кривизны

При решении задачи в динамической постановке предполагается, что температура линейно зависит от времени по закону:

                                                                (13)

Вертикальная составляющая силы инерции вычисляется на основе предыдущих значений прогибов. После “прохлопывания” оболочка деформируется так же, как при статическом нагревании.

Рис. 5. Сравнение характеристик ТБ-элементов с различными радиусами

Для расчета осесимметричной деформации ТБ-элемента создана программа на языке С++, позволяющая вычислять все необходимые характеристики микроактюатора.

Послойно решается краевая задача, а также начальная задача по времени - методом конечных разностей по явной схеме. Динамическая характеристика микроактюатора представлена на рис. 6, точка С показано крупно на рис. 7.

Рис. 6. Динамическая характеристика микроактюатора

Рис. 7. Динамическая характеристика микроактюатора

Жесткостная характеристика микроактюатора для случая силового нагружения (деформированная форма показаны на рис. 8) была построена с помощью конечно-элементного комплекса ABAQUS (см. рис. 9).

Рис. 11. Деформированная форма

Рис. 12. Жесткостная характеристика микроактюатора, построенная с помощью ABAQUS

Автор выражает благодарность научному руководителю Гаврюшину С.С. за постановку задачи и полезные советы.

ВЫВОДЫ

В работе проведен анализ процесса деформирования микроактюатора, в ходе которого решена краевая и начальная задачи. Исследована рабочая характеристика микропереключателя и влияние на нее геометрических параметров и сил инерции.

Список литературы

1.        Гаврюшин С.С., Коровайцев А.В. Методы расчета элементов конструкций на ЭВМ. -M.: Изд-во ВЗПИ, 1991.-160c.

2.        Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. – 278 с.

3.        Гаврюшин С.С. Численный анализ и синтез гибких элементов конструкций с управляемой упругой деформацией. УДК 539.3:621.01

4.        Гаврюшин С.С., Барышникова О.О., Борискин О.Ф. Численные методы в проектировании гибких упругих элементов – Калуга, 2001. – 205 с.

5.        Демидов С.П. – Теория упругости. М.: «Высшая школа», 1979.

6.        Пономарев С.Д., Андреева Л.Е. Расчет упругих элементов машин и приборов. М.: Машиностроение, 1980. – 326 с.