НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 530.145.1

МГТУ имени Н.Э. Баумана

alesha.fedorov@gmail.com

st.yurchenko@mail.ru

Одним из наиболее активно развивающихся направлений в нерелятивистской квантовой механике является квантовая томография [1-3]. Квантовая томография использует для описания квантовых состояний неотрицательные функции распределения вероятностей – симплектические томограммы. В обзоре [1] рассмотрены основные соотношения, связывающие симплектическую томограмму с волновой функцией, матрицей плотности, функцией Вигнера [4]. Интересным является тот факт, что томограммы могут быть измерены в квантово-оптических экспериментах [5].

Целью настоящей работы является установление связи томографического представления квантовой механики с методами вторичного квантования.  Показано, что при построении вторичного квантования в рамках квантовой томографии оператор плотности частиц является многочастичным эквивалентом одночастичного выражения для симплектической томограммы. Обобщены результаты [2] и показано, что преобразования Боголюбова не сводятся к симплектическим преобразованиям,  использующимся в квантовой томографии. Предложенные методы квантовой томографии во вторичном квантовании использованы для решения задачи о квантовой цепочке осцилляторов, вычислен спектр фононов и найдена энергия нулевых колебаний.

Томографическое представление квантовой механики использует линейное каноническое преобразование фазового пространства – действие симплектической группы SP₂(R):

                                                     (1)

где q – координата, p – импульс, а μ, μ’, η, η’ – вещественные числа.

Поскольку (1) является каноническим преобразованием, сохраняется структура фазового пространства с невырожденными кососимметрическими билинейными формами: скобкой Пуассона в классическом случае и коммутатором – в квантовом. Также канонические преобразования сохраняют вид уравнений движения. Частным случаем (1) является действие матриц группы SO₂(R).  В таком случае (1) является поворотом фазового пространства на некоторый угол. Тогда симплектическая томограмма превращается в маргинальное распределение гомодинной переменной в квантово-оптических схемах томографии [4]. В общем случае (1) – это поворот фазового пространства с взаимным масштабированием по осям p и q.

Симплектическая томограмма Τ(ε,μ,η) наблюдаемой ε, которая является линейной комбинацией квадратурных компонент:

определяется через волновую функцию следующим образом:

                                          (2)

где F – линейный унитарный оператор.

Можно показать, что этот оператор – дробное преобразования Фурье:

                              (3)

Из определения симплектической томограммы (3) следует, что она представляет собой нормированную,  положительную и однородную функцию:

В случае квантового фазового пространства (1) задает преобразование операторов координат и импульса. Хорошо известно, что системы, состоящие из большого числа частиц, удобно рассматривать при помощи методов вторичного квантования [6]. Операторы координаты и импульса связаны с операторами рождения и уничтожения следующим преобразованием:

где  – операторы рождения и уничтожения.

Не нарушая общности, будем рассматривать случай бозе-частиц. Для операторов рождения и уничтожения справедливы коммутационные соотношения:

Таким образом, можно ввести операторы поля:

волновые функции образуют полную ортонормированную систему; справедливы следующие коммутационные соотношения для операторов поля:

Вторично квантованный оператор плотности частиц:

является многочастичным эквивалентом одночастичного выражения для симплектической томограммы (2). Как известно, в классическом случае оператор плотности соответствует обычной плотности вероятности в координатном или импульсном представлении. 

По определению интеграл от оператора плотности, взятый по всему пространству,  есть оператор полного числа частиц в системе:

Мощным инструментом вторичного квантования является использование канонических преобразований. В частности семейства симплектических преобразования Боголюбова могут быть использованы для диагонализации гамильтонианов. Структура преобразований Боголюбова близка к (1): они задаются матрицами групп SP₂(R) и SP₂(С) и соответствуют псевдоевклидовым вращениям в двумерном пространстве-времени (преобразования Лоренца) в случае бозе-частиц, вращению евклидового пространства для ферми-частиц.

В общем виде линейные канонические преобразования – действия группы SP₂(C):

                                                             (4)

где u и v – комплексные числа, удовлетворяющие соотношению:

Можно утверждать, что не существует таких комплексных чисел u и v, которые могли бы задавать преобразование вида (1). Эквивалентно утверждение, что элементы матрицы:

удовлетворяют следующей системе:

                                (5)

Система (5) не имеет решений. Поэтому преобразования Боголюбова не являются более общим случаем (1).

            Теперь рассмотрим задачу о взаимодействии нескольких частиц в томографическом представлении и используем полученные методы вторичного квантования. Можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая, что взаимодействие N соседних частиц, описывается гамильтонианом:

где K – параметр.

Учитывая (1) перейдем к операторам рождения и уничтожения:

Запишем гамильтониан при помощи операторы рождения и уничтожения:

Диагонализуем гамильтониан при помощи канонического преобразования (4) и приходим к виду:

где частота колебаний (рис. 1):

                                                            (6)

Найдем энергию нулевых колебаний, приходящуюся на одну частицу (рис. 2):

                                  (7)

На рис. 1 представлен график частоты как функции координаты q и отношения K/m. На рис. 2 представлен график энергии нулевых колебаний как функции параметра K/m.

Таким образом, установлена связь томографического представления квантовой механики с методами вторичного квантования.  Показано, что при построении вторичного квантования в рамках томографического представления оператор плотности частиц является многочастичным эквивалентном одночастичного выражения для симплектической томограммы.

Рис. 1. Частота колебаний (6)

Обобщены результаты [2] с учетом канонического определения матриц группы SP(R) и показано, что преобразования Боголюбова не обобщают симплектическое преобразование, применяемое в квантовой томографии.

Рис. 2. Энергия нулевых колебаний (7)

Предложенные соотношения для построения вторичного квантования в томографическом представлении опробованы на задаче о квантовой цепочке осцилляторов, вычислен спектр фононов и найдена энергия нулевых колебаний (7).

Библиографический список

1.      Ibort A., Man'ko V.I., Marmo G., Simoni A., Ventriglia F. An Introduction to the Tomographic Picture of Quantum Mechanics // arXiv:0904.4439v1[quant-ph], (2009)

2.      Федоров А.К., Юрченко С.О. Вторичное квантование и томографическое представление квантовой механики // Студенческий научный вестник, 2011, 217-218.

3.      Федоров А.К., Юрченко С.О. Томографическое представление в квантовой механике // Физическое образование в вузах (приложение). Труды конференции-конкурса молодых физиков, XVII (2011), ╧1, 23.

4.      Wigner E.P. On the Quantum Correction for Thermodynamic Equilibrium // Phys. Rev., 40 (1932), 749–759.

5.      Beck M., Smithey D.T., Raymer M.G. Experimental Determination of Quantum-phase Distribution Using Optical Homodyne Tomography // Phys. Rev. A., 48 (1993), 890–893

6.      Левитов Л.С. Функции Грина. – М.: Физматлит. 2002 – 352 с.