НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 652. 72

НИИ современных технологий, системного анализа и моделирования,
Иркутский государственный университет путей сообщения, г. Иркутск

ermosh_emf@irgups.ru

Динамика механических систем, в которых отдельные элементы соединяются с другими через кинематические пары, традиционно рассматривается в теории механизмов и машин применительно к механизмам. Последние представляют собой механические цепи, состоящие из твердых тел, соединенных между собой кинематическими парами; механическая цепь является замкнутой и имеет, как правило, одно неподвижное звено [1, 2]. Однако сочленение может и не быть кинематической парой в общепринятом смысле, а представлять собой соединение более общего вида, в котором особенностями параметров движения обладают сопрягаемые точки двух звеньев; в частности, относительная скорость двух таких точек может быть постоянной или равна нулю (или равно нулю относительное смещение). Неудобства известных подходов к составлению математических моделей заключаются в необходимости учета переносных сил инерции, передаваемых от одного массоинерционного элемента к другому через сочленение, в том числе и через соединение в виде кинематических пар. Особенности динамических свойств таких механических систем представлены в работе [3]. Автором данной статьи рассматриваются некоторые приемы по построению математических моделей механических колебательных систем с сочленениями. Эти приемы позволяют упростить учет переносных сил инерции, возникающих, например, при кинематическом возмущении в системе, один из  массоинерционных элементов которой имеет сочленение с вибрирующим основанием. Предлагаемый прием можно соотнести с приемами наложения связей в колебательных системах [4, 5].

Основная идея построения математических моделей заключается в том, чтобы получение математической модели проходило в специально выбранной системе обобщенных координат. Такая система должна содержать координаты относительного движения, которое в случае формирования сочленения  «исключается», а соответствующая координата относительного движения принимается, равной нулю.  В формализованном виде математическая модель системы с сочленениями может быть получена из матрицы коэффициентов дифференциальных уравнений исходной системы путем исключения соответствующих строки и столбца, для которых соответствующая координата принимается  равной нулю; исключается при этом и соответствующая обобщенная сила. Перегруппировка обобщенных сил на соответствие обобщенным координатам происходит непосредственно в процессе вывода уравнений, и как отдельная операция, может не применяться. Истоки подхода, как уже упоминалось, связаны с понятиями наложения связей, которые нашли отражение в ряде работах, в частности в [5, 6].

I. Общие положения. Сочленения, которые реализуются через соединения между собой различных звеньев  (в частности, звеньев, в виде твердых тел, в том числе и неподвижное звено), можно рассматривать как наложение связей. Так, например, связь , (где в свою очередь, , а ), можно записать как линейное однородное уравнение относительно координат системы. Если  и  задача заключается в выполнение этого условия при движении системы, то уравнение может принять вид

.                                                        (1)

Такая задача может рассматриваться при движении цепной механической цепи при увеличении жесткости  k₂ до ∞  между элементами с массами m₁ и m₂ (рис. 1).

Рис. 1.  Расчетная схема виброзащитной системы цепного типа с возможностями сочленения звеньев с массами m₁ и m₂

В общем случае можно полагать, что связь задана уравнением

,                                                            (2)

где q₁, q₂…q_n – обобщенные координаты системы.

Предполагается, что налагаемая связь не должна приводить к смещению положения равновесия, в котором по предложению все q_i=0, то есть

,                                                        (3)

что характерно для многих случаев виброзащитной практики.

Если разложить (3) по степеням координат y_i, начиная с членов первого порядка, и ограничиться только такими членами разложения, то уравнение связи можно представить в виде

,                                                (4)

где A₁₁, A₁₂…A_1n – постоянные числа – коэффициенты, отражающие свойства механической системы.

II. Учет наложения связей. Введем новую систему координат, используем (4) и получим

                                       (5)

От такой подстановки собственные частоты не изменятся (по существу одна система обобщенных координат заменяется на другую). Кинетическая и потенциальная энергии в новых координатах , примут вид

.                                              (6)

Отметим, что две квадратичные формы, из которых одна определенно положительна, одним линейным преобразованием могут быть приведены к каноническому виду [5].

Малые колебания системы с n степенями свободы около положения устойчивого равновесия, определяемые изменениями обобщенных координат, имеют вид:

                         (7)

и представляют собой линейные наложения n главных гармонических колебаний [5].

 Введем выражение, которое отражает ряд подстановок, например, (5), в результате которых частотное уравнение системы принимает вид

.                      (8)

Предположим теперь, что на систему накладывается связь (4), то есть формируется сочленение через процедуру устремления к нулю некоторой выбранной координаты относительного движения. В новых координатах r_i такая связь имеет уравнение

.                                                                       (9)

При этом, n-1 корней  системы с сочленением располагаются между корнями p_k частотного уравнения исходной системы, что следует из теоремы о наложении связей [5]:

.                             (10)

Таким образом, если на систему с n степенями свободы наложена линейная связь, то частоты полученной системы с  n-1 степенями свободы располагаются между частотами первоначальной системы. То есть наложение связи, в соответствии с теорией колебаний, не нарушает условий движения, в смысле их осуществимости и устойчивости, но приводит к сдвигам в спектре частот собственных колебаний [5]. Такой подход может быть также расширен  на случай нескольких сочленений (или связей). Если на систему с  n степенями свободы наложены линейных связей

,                                  (11)

то частота системы с сочленениями

,

удовлетворяют неравенствам такого же типа, что и (10).

Связи (11) можно всегда представить уравнениями

                                             (12)

и налагать их на заданную систему не сразу все, а последовательно – одна за другой. Переход к координатам, связанным с q_i соотношением (5), не изменяет уравнений естественных связей [5]. Положив r₁ = 0, получим систему с n-1 степенями свободы, собственные частоты , которые удовлетворяют неравенству

,                                           (13)

что можно преобразовать относительно координат , связанных с   уравнениями

                                         (14)

Полагая S₂ = 0, получим систему с n-2 степенями свободы, частоты которой  будут  удовлетворять неравенствам

.                                    (15)

Продолжая процедуры и вводя последовательно сочленения (связи), можно получить соответствующие неравенства, которые будут иметь место для частот системы после наложения на нее всех  связей. Отметим, что предлагаемые приемы составления математических моделей позволяют детализировать представления о технологии формирования различных классов математических моделей и возможностях операции восстановления исходных моделей при «разборке» сочленения. Важным для нас обстоятельством является то, что формирование сочленения, в рамках теоретической механики, может рассматриваться как наложение связей. Этот процесс приводит к уменьшению числа степеней свободы исходной системы, которая существенным образом изменяет свои свойства. Поэтому формализм, связанный с уменьшением числа степеней свободы по отношению к механической системе, в которой исследуются последствия от введения сочленений, должен учитывать эти обстоятельства.

III. Заключение. Разные формы сочленений предполагают наличие особенностей в приемах соединений с учетом сложности их конструктивного исполнения. Чаще всего движение элементов системы происходит в одной плоскости; обычно выделяют два класса звеньев: неподвижные  и подвижные. В связи с этим, одним из наиболее распространенных сочленений является шарнирное соединение в виде кинематической вращательной пары. В простейших вариантах звенья, соединяемые шарниром, допускают вращательно-качательные движения относительно друг друга. При этом сочленение из общего числа степеней свободы производит «исключение» одной степени свободы в движениях. Увеличение  количества сочленений, соответствующих числу шарниров, обеспечивает уменьшение общего числа степеней свободы (или числа независимых переменных).

Кроме соединения подвижных звеньев между собой часто встречаются соединения твердых тел  с неподвижными звеньями или с основанием (или условно неподвижной системой). Такое сочленение на рис. 2 показано подштриховкой.

Механические колебательные системы могут иметь сочленения различных типов, что обеспечивает особенности структуры системы и, так называемой, «метрики». Математическая модель системы может быть представлена в виде системы обыкновенных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка

,

где A– матрица   операторных коэффициентов; y – вектор-столбец координат; b – вектор столбец внешних воздействий.

В общем случае матрица  имеет порядок  и является симметричной:

 .

При построении математических моделей систем с сочленениями могут использоваться различные системы обобщенных координат, главным образом такие, в которых координаты отражают относительное движение. Сочленение может быть реализовано по отношению к элементу, совершающему «абсолютное» движение, то есть в неподвижной системе координат. Естественно, при этом, что системы координат допускают взаимные преобразования.

Введение сочленения означает исключение соответствующих столбцов и строк матрицы коэффициентов, включая и «исключения» соответствующей правой части уравнения [4].

Физический смысл операции заключается в том, что сочленение, представленное разностью соответствующих координат, исключается в физическом смысле; вместе с переменной исключаются одновременно  и коэффициенты матрицы, определяющие связи между убираемой парциальной системой и остальными. Правая часть уравнения, определяемого строкой, также исключается, поскольку физически «исчезает» точка приложения сил. Внешнее воздействие в этом случае перераспределяется соответствующим образом при выборе систем обобщенных координат, где необходимо соблюдать условия равенства виртуальных работ обобщенных сил в различных системах обобщенных координат. В работах [7,8] рассматривается ряд конкретных примеров использования процедур, построения математических моделей, а также примеры сочленений. Набор возможных сочленений может обеспечивать и более сложные формы взаимодействий, в том числе и на основе кинематических пар IV и III, классов. Как полагает автор, возможности учета особенностей сочленения, в плане построения математических моделей, могут быть распространены и на другие системы с голономными связями.

Библиографический список

1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин / И.И. Артоболевский. – М.: Наука, 1975. –  638 с.

2. Левитский Н.И. Колебания в механизмах / Н.И. Левитский – М.: Наука, 1988. – 356 с.

3. Лилов Л. К. Моделирование систем связанных тел: монография / Л.К.Лилов. - М. : Наука, 1993. - 272 с.

4. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Виброзащитные системы с сочленениями. Технология построения математических моделей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Вып. 3 (27). – Иркутск. 2010. С. 8-18.

5. Бабаков И.М. Теория колебаний / И.М. Бабаков. – М.: Наука, 1968. – 549 с.

6. Лойцянский Л.Г. Курс теоретической механики: в 2 т. Т 2 Динамика / Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье. – М.: Наука, 1980. – 640 с.

7. Елисеев С.В. Возможности сочленения твердых тел в цепных механических системах / С.В. Елисеев, Ю.В. Ермошенко, И.В.Фомина // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование – Иркутск: ИрГУПС, ╧3 (27). – 2010. – С. 138 – 146.

8. Хоменко А.П. Сочленения в виброзащитных системах как процесс уменьшения числа степеней свободы системы / // А.П. Хоменко, С.В. Елисеев // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – Иркутск: ИрГУПС, ╧4(28). – 2010. – С.8 – 15.