НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 004.942

МГТУ им. Н.Э. Баумана

abozhko1@gmail.com

Еще со времен первых работ по теории систем во многих отраслях научного знания утвердилась и получила развитие так называемая структурная парадигма, когда свойства целого выводятся из характеристик элементов и связей между ними. Эта доктрина оказалась плодотворной не только в естественных науках и лингвистике. Опыт показал, что структурный подход имеет множество результативных применений в теории проектирования и технологии машиностроения [7, 8, 9].

Естественным средством для описания структур технических объектов служит аппарат теории графов, с помощью которого удалось решить несколько важных прикладных задач размерного анализа, синтеза кинематических схем, функционально-стоимостного анализа и др. Известны работы, в которых авторы предлагали различные графовые модели для проектирования сборочных процессов машин и механических приборов. Эти попытки были не вполне удачными, поскольку в процессе техногенеза элементы систем часто образуют сложные «ансамбли», которые не могут быть адекватно описаны бинарными отношениями. Многие свойства сложных технических объектов порождаются в результате взаимодействия множественных совокупностей составных частей, и на статическом уровне феномены такого рода представляются многоместными отношениями или отношениями переменной местности. Технологические процессы изготовления машин и приборов изобилуют примерами отношений такого сорта. Так, базирование и геометрические связи в процессе сборки в общем случае являются многоместными и в терминах графов принципиально не могут быть описаны без потери существенных данных.

В нескольких работах автора (см. [1, 2, 3]) предложена и обоснована гиперграфовая модель конструкции машин и механических приборов. Во многих проектных ситуациях эта структурная модель адекватно описывает совокупность позиционных механических связей, доставляющих деталям изделия определенность в процессе сборки.

Рис. 1. Промежуточный вал цилиндрического редуктора внутреннего зацепления

На рис. 1 показан пример простой конструкции, а на следующем рисунке – две ее структурные модели: граф механических связей (a) и гиперграф механических связей (b).

Рис. 2. Структурные модели редуктора

Развернутое определение, примеры применения и описание области адекватности гиперграфовой модели изделия можно найти в [1]. Поскольку данная работа является продолжением цикла статей, ограничимся самыми краткими формулировками исходных понятий, необходимыми для изложения результатов.

Поставим в соответствие изделию гиперграф механических связей , где множество вершин  описывает детали машины или механического прибора, множество гиперребер  представляет минимальные геометрически определенные группировки деталей, а – инцидентор, который связывает гиперребра с входящими в него вершинами.

Гиперграф называется стягиваемым (s-гиперграфом), если существует последовательность , для элементов которой выполняются следующие требования:

1.      ;

2.       представляет собой одновершинный гиперграф;

3.      Для всех  справедливо соотношение ;

4.      Каждый элемент последовательности  получается из предыдущего  стягиванием ребра кратности 2, . Такое стягивание называется нормальным.

В общем случае в стягиваемом гиперграфе существуют фрагменты, которые стягиваются независимо от своего окружения. Таковыми, в частности, являются все сборочные единицы и «образы», которые «пробегает» изделие в процессе общей сборки. Моделями таких фрагментов будут s-гиперграфы, которые являются подмножествами структуры, описывающей все изделие. Если определен гиперграф , задающий позиционные механические связи всего изделия, то каждый его s-подгиперграф полностью определяется набором своих вершин, как порожденный в . В этой ситуации s-подгиперграфы можно называть просто s-множествами, что существенно упрощает изложение материала.

Теорема 1. Если частично-упорядоченное множество  имеет наибольший элемент (1), а всякое непустое подмножество – нижнюю грань, то  является полной решеткой [4].

Доказательство.

Пусть A – непустое подмножество L. Верхний конус содержит единицу, т.е. множество – непусто. По условиям теоремы существует . Покажем теперь, что . Если , то  для всех  и, кроме того,  для всех . Если же  для всех , то поскольку , имеем , чем и доказывается равенство . Если существует , то поскольку для каждого  справедливо соотношение  , имеем  . Если  для всех , то  и, следовательно, . Таким образом, . Теорема доказана.

Пусть задан стягиваемый гиперграф . Обозначим через F(H) – множество всех s-подграфов гиперграфа , пополненное пустым множеством . Упорядочим F(H) по теоретико-множественному включению . Для любых двух s-подграфов  и , принадлежащих F(H),  тогда и только тогда, когда . Так как подграфы  – порожденные в H, то включение вершин  влечет за собой включение ребер .

В [2] доказана теорема, утверждающая, что если два s-подграфа  s-гиперграфа H порождены своими множествами вершин  ,  и имеют непустое пересечение , то подграф , порожденный этим пересечением, также является стягиваемым.

Если любым двум s-подграфам , имеющим пустое пересечение вершин сопоставить , то множество F(H) становится замкнутым относительно пересечения своих элементов. В этих условиях имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть  – стягиваемый гиперграф. Частично-упорядоченное множество  всех s-подграфов гиперграфа H, пополненное пустым множеством , является полной решеткой.

Доказательство. Множество F(H) имеет наибольший элемент, которым служит гиперграф H. Для любых  , если , в противном случае – . Если  – непустое подмножество F(H), то равенство  доказывает существование нижней грани для . Все условия теоремы 1 выполнены, поэтому частично-упорядоченное множество  является полной решеткой.

Рис. 3. Пример стягиваемого гиперграфа

На рис. 3 приведен пример стягиваемого гиперграфа H небольшой размерности, а на рис. 4 показана диаграмма Xaccе решетки  всех его s-подграфов.

Эта решетка не «праздно являет себя», она служит универсальной порождающей средой для генерации множества проектных решений в процессе технологической подготовки производства сборочных процессов. Приведем несколько простых интерпретаций, не требующих подробного изложения.

Любой путь в F(H) из минимального элемента () в максимальный (H) представляет собой описание последовательности сборки, которую допускает изделие по условиям базирования. Множество всех таких путей образует исходное множество альтернатив в задаче выбора рациональной последовательности сборки в заданной технологической системе. Любая схема технологического членения изделия (т.е. разбиение конструкции на сборочные единицы) описывается деревом, вписанным в решетку F(H) и др.

Исследования показали, что решетки F(H) очень богаты технологическим содержанием. Множество решеточных категорий (подрешетки, полурешетки, конгруэнции, морфизмы и др.) имеют содержательные технологические и конструктивные толкования. (Автор готовит к публикации отдельную статью, посвященную этой теме.)

Рис. 4. Диаграмма Хассе решетки

Утверждение о решеточной организации множества всех собираемых фрагментов конструкции можно обосновать и иным способом. Обозначим через B(X) совокупность всех подмножеств множества X, включая и пустое множество. Множество B(X) иногда называют булеаном, а X –  носителем. В алгебраической теории решеток доказывается теорема, гласящая, что для любого X его булеан B(X) является полной решеткой [4]. Эту решетку можно рассматривать как частично-упорядоченное множество , в котором отношение предшествования индуцируется теоретико-множественным включением . Рассмотрим отображение , у которого  выполняются условия:

1.       (экстенсивность);

2.       (монотонность);

3.       (идемпотентность).

Отображение, обладающее свойствами 1-3, называется оператором замыкания, а элементы Y, для которых справедливо , называются замкнутыми [4].

Теперь пусть X – множество деталей изделия, а отображение  любому подмножеству  ставит в соответствие , где  –  минимальный по составу независимо собираемый фрагмент изделия, включающий в себя Y.

Так как , то для отображения  очевидным образом выполняется свойство экстенсивности (1).

Обоснуем монотонность. В самом деле, если для подмножеств деталей  имеет место , то минимальный собираемый фрагмент , включающий , является собираемым фрагментом (возможно не минимальным), содержащим . Поэтому .

Покажем идемпотентность. Для любого Y его образ  является и минимальным и собираемым по определению, поэтому .

В такой интерпретации отображения  -замкнутыми элементами в B(X) являются подмножества деталей, сборка которых может быть осуществлена независимо, и только они.

Множество всех -замкнутых элементов  называется частным по замыканию и обозначается . В [4] доказывается теорема, утверждающая, что частное по замыканию  оператора , действующего на решетке L, само является решеткой; причем нижние грани элементов в L совпадают с нижними гранями в , т.е. для любых  выполняется .

Булеан B(X) множества деталей представляет собой решетку, поэтому частное  по замыканию  также является решеткой. Причем, для любых , т.е. пересечение любых подмножеств, собираемых независимо, обладает этим свойством.

Рассмотрим отображение , для которого выполняются требования 2 и 3 из определения оператора замыкания и, кроме того, справедливо соотношение (интенсивность). Отображение с такими свойствами называется в теории решеток оператором козамыкания [4].

Будем считать, что интерпретация множеств  осталась неизменной, а оператор козамыкания  каждому множеству деталей Y ставит в соответствие максимальное по мощности подмножество , сборка которого может быть осуществлена независимо. Таковое всегда существует, поскольку семейство всех независимо собираемых подмножеств множества Y непусто (каждая деталь  входит в это семейство). Если оператор замыкания добавляет детали, делающие сборку независимой, то оператор козамыкания удаляет «лишние» детали, нарушающие это свойство.

Подмножество , для которого , называется козамкнутым, а совокупность всех козамкнутых элементов булеана B(X) – частным по козамыканию и обозначается . Известна теорема, гласящая, что частное по козамыканию полной решетки, также представляет собой решетку.

Необходимо отметить, что в разных проектных ситуациях свойство собираемости множества деталей может получать толкования, отличающиеся от полной взаимной скоординированности по условиям базирования. Иногда любое связное подмножество деталей без обязательной взаимной координации считается собираемым. В некоторых операциях технологической подготовки производства собираемым считается группа деталей, расфасованных в специальную тару. Причем между элементами этой группы могут отсутствовать взаимная координация и механические связи [5, 6].

Для подобных случаев, когда понятие собираемости толкуется расширительно, а требования взаимной скоординированности ослабляются или снимаются, не подходит гиперграфовая формализация. Описания собираемых подмножеств при помощи операторов замыкания и козамыкания не зависят от толкования скординированности или связности подмножеств деталей, поэтому область адекватности решеток  и  больше, чем у решетки .

Список литературы

1.      Божко А.Н. Моделирование механических связей изделия// Электронное научно-техническое издание «Наука и образование» – 2011. – ╧3.

2.      Божко А.Н. Моделирование механических связей изделия. Условия стягиваемости// Электронное научно-техническое издание «Наука и образование» – 2011. – ╧5.

3.      Божко А. Н., Бетин Е. А. Анализ стягиваемости гиперграфов// Информационные технологии. – 2005. – ╧5 – с. 6-12.

4.      Гретцер Г. Общая теория решеток. –М.: Мир, 1982.

5.      Маталин А.А. Технология машиностроения. – М.: Машиностроение, 1985.

6.      Сборка и монтаж изделий машиностроения: справочник в 2-х томах / Под ред. В.С. Корсакова, В.К. Замятина. – М.: Машиностроение, 1983.

7.      Своятыцкий Д.А. Моделирование процессов сборки в робототехнических комплексах. – Минск: Наука и техника, 1983.

8.      Тимковский В.Г. Дискретная математика в мире станков и деталей. – М.:Наука, 1992.

9.      Челищев Б.Е., Боброва И.В., Гонсалес-Сабатер А. Автоматизация проектирования технологии в машиностроении – М.: Машиностроение, 1987.