Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

О построении структурных моделей виброзащитных систем с динамическим гасителем

# 08, август 2011
Файл статьи: Трофимов_P.pdf (375.41Кб)
автор: Трофимов А. Н.

УДК 62.752

НИИ современных технологий, системного анализа и моделирования, ИрГУПС

г. Иркутск

trofimov_an@irgups.ru

I. Введение. Динамическое гашение колебаний в конструкциях, силовых передачах и виброзащитных системах приборов и оборудования является одним из эффективных способов повышения надежности и безопасности работы технологических машин [1÷3]. В теоретических и прикладных разработках, посвященных динамическому гашению колебаний, которые носят междисциплинарный характер, используются различные подходы, в том числе и основанные на применении аппарата теории автоматического управления соединения. Вместе с тем, многие особенности динамического гашения, рассматриваемые с позиции теории обратных связей и учета конструктивных форм реализации, остаются недостаточно изученными. В работах [4÷6] представлены результаты исследований, связанные с рассмотрением динамических гасителей, вводимых как дополнительные Г-образные связи, имеющие специфичные формы закрепления упругих элементов. В связи с этим целесообразно обратить внимание на обобщение подходов к построению математических моделей динамических гасителей.

II. Постановка задачи. Рассмотрим виброзащитную систему с объектом защиты с массой М и динамическим гасителем колебаний m1 (Рис. 1а), соединенных пружиной с жесткостью k; система может свободно перемещаться в направлении y, имея точку отсчета О (силы трения считаются малыми)

Для представленной на рис. 1а схемы определим выражения для кинетической и потенциальной энергий:

;                                                           (1)

.                                                               (2)

Используя (1), (2) и известные приемы [7], составим дифференциальные уравнения движения в виде

                                                     (3)

и построим, в соответствии с (3), структурную схему эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления (Рис. 1б).

Если , то структурная схема (Рис. 1б) распадается на два автономных фрагмента. Рассмотрим блок, обозначенный контуром I. Если , то структурную схему можно преобразовать к  виду, как показано на рис. 1в.

а)

б)

в)

Рис. 1. Общий вид системы из двух элементов в поступательном движении (а) и общая структурная (б) и приведенная (в) схемы

 

Отметим, что введение дополнительной колебательной структуры из двух элементов  и  эквивалентно введению дополнительной обратной связи для базового элемента с массой (контур I на рис. 1б). Передаточная функция системы в этом случае может быть представлена

             (4)

где частотное уравнение (знаменатель (4)) можно записать

                                              (5)

и преобразовать к виду

.                                              (6)

Здесь .

Из (5), (6) следует, что частное решение – , соответствует наличию циклической координаты, а частота собственных колебаний определяется выражением

;         (7)

если M = m, то

       .             (8)

При этом колебательное движение реализуется относительно циклического движения, определяемого . При равных массах частота колебаний определяется выражением (8). Отметим также, что в данной системе, состоящей из элементов  с массами  и , пружиной жесткостью , реализуется преобразование, которое можно было бы отнести к «последовательному соединению масс по правилам механических цепей» [3]. Что касается правил параллельного соединения масс, то такой эффект можно наблюдать при соответствующем выборе системы обобщенных координат. Введем относительную координату , тогда (1), (2) можно записать в форме

                                      (9)

Используя (9), можно получить систему уравнений движения, которая отличается от (3):

                                                        (10)

Структурная схема системы в координатах , полученная на основе (10),  приведена на рис. 1а; в этой системе координат структурная схема системы имеет другой вид по сравнению с рис. 1б; отметим, что перекрестные связи между парциальными системами y1, z носят инерционный характер. В данном случае можно наблюдать также эффект условного параллельного соединения элементов с массами M и m; при этих преобразованиях координат знаменатель передаточной функции остается неизменным.

 

а)

б)

Рис. 2. Структурная схема исходной системы в координатах ;

а – исходная расчетная схема; б – приведенная расчетная схема

Преобразуем схему на рис. 2а к виду, как показано на рис. 2б, и найдем передаточную функцию:

        (11)

Режим динамического гашения можно получить из числителя (11):

,                                                                   (12)

а частота собственных колебаний определится, также, как и по формуле (7):

                                                       (13)

Сравнение (12), (13) показывает, что частота динамического гашения будет меньше частоты собственных колебаний, поэтому амплитудно-частотная характеристика примет вид, как показано на рис. 3. Перейдем к передаточной функции «вход - выход -».

;               (14)

Рис. 3. Амплитудно-частотная характеристика, соответствующая передаточной функции (4)

 

В этом случае, то есть в системе координат  амплитудно-частотная характеристика системы, соответствующая передаточной функции (14), будет иметь обычный вид (один резонанс, определяемый (13)). Если найти передаточную функцию «вход - выход -», то получим

      (15)

В системе, если учесть особенности знаменателя (15), имеется циклическая координата, как и при передаточной функции (11); частота собственных колебаний в обоих случаях одинакова, но режим динамического гашения  по координате  уже не проявляется.

III. Введение упругой связи с основанием. Рассмотрим введение динамического гасителя в схему с объектом массой M (Рис. 4), при этом вводится также пружина  (для массы , как было и ранее, учитывается упругий элемент .

Рис. 4. Система с двумя степенями свободы с упругой связью 

 

Запишем для расчетной схемы на рис. 7 выражения для кинетической и потенциальной энергий, которые отличаются от (1), (2) и (9)

;                       (16)

             (17)

Используя (16), (17) и процедуры, изложенные в [7], найдем (при ) дифференциальные уравнения движения

                                                   (18)

                                                                 (19)

Структурная схема, соответствующая расчетной схеме на рис. 4, и уравнениям (18), (19) приведена на рис. 5, откуда может быть определена передаточная функция по координате .

Рис. 5. Структурная схема системы в координатах

 

Рис. 6. Приведенная структурная схема с дополнительной обратной связью

 

                            (20)

Преобразуем с учетом (20) структурную схему на рис. 5 к виду, как показано на рис. 6. В этом случае элементы  и  образуют колебательную структуру, вводимую как обратная дополнительная связь. В системе по координате , которая принимается как координата объекта защиты, будет наблюдаться режим динамического гашения при  . Примем , тогда получим частотное уравнение

       (21)

Решая биквадратное уравнение (21), найдем частоты собственных колебаний

;                                                            (22)

.                                                           (23)

При этом обратная дополнительная связь (рис. 9) на частоте  приобретает коэффициент усиления, равный . В данной системе это соответствует режиму динамического гашения. На рис. 7 приведена амплитудно-частотная характеристика, соответствующая структурной схеме на рис. 6.

Untitled-1 copy.tif

Рис. 7. Амплитудно-частотная характеристика системы,

расчетная схема которой приведена на рис. 4, где   и

 определяются выражениями (22), (23)

 

 

Передаточная функция «вход - выход -» с учетом (20) принимает вид:

              (24)

а передаточная функция межкоординатной связи соответственно

.                                                               (25)

Используя (20)÷(26), можно найти параметры режимов динамического гашения с учетом особенностей внешнего возмущения.

III. Динамические свойства систем с несколькими степенями свободы. В работах, посвященных исследованиям деталей динамических взаимодействий, вызванных введением динамического гасителя колебаний, как присоединяемого через упругий элемент массой [7, 8], предполагается, что внешняя гармоническая сила и упругий элемент прикладываются непосредственно к объекту защиты. Вместе с тем, достаточно часто  возникают ситуации, когда внешнее воздействие может принимать иные формы и передаваться на объект опосредованно. Рассмотрим систему с тремя степенями свободы (рис. 8), в которой объект защиты испытывает воздействие со стороны вибрирующего основания при наличии промежуточной массы . При этом объект  имеет и динамический гаситель колебаний ().

Рис. 8. Расчетная схема виброзащитной системы

с динамическим гасителем и промежуточной массой

 

Запишем для расчетной схемы (рис. 8) выражения для кинетической и потенциальной энергий

                                                          (26)

                    (27)

где жесткости упругих элементов; кинематическое возмущение.

Система дифференциальных уравнений движения с учетом (26), (27)  принимает вид

                                    (28)

В унифицированной форме коэффициенты (28) приведены в табл. 1.

Таблица 1

Коэффициенты уравнений движения (28)

0

0

0

0

Примечание: обобщенные силы в системе координат

Введем новую систему координат  и , тогда можно записать, что  а выражения (26) и (27) примут вид

                                            (29)

                       (30)

Запишем вспомогательные соотношения, используя (29), (30)

Система уравнений (28), таким образом, преобразуется к виду

                                (31)

Коэффициенты уравнений (31) приведены в таблице 2.

Таблица 2

Значения коэффициентов уравнения (31)

0

0

0

Примечание: обобщенные силы в системе координат

Структурная схема  исходной системы (Рис. 8) приведена на рис. 9 а,б соответственно в системах координат  и .



а)

б)

 

Рис. 9. Структурные схемы виброзащитных систем: а – для системы координат , б – для системы координат

 

Разница между структурными схемами на рис. 9а и рис. 9б заключается в том, что в первом случае возмущение представлено одной возмущающей силой , и во втором случае мы имеем возмущение по двум входам , что является существенным фактором влияния на характер динамических взаимодействий. Найдем передаточные функции виброзащитной системы, используя координаты и , принимая во внимание, что

,         (32)

,        (33)

,         (34)

где .

С учетом значений коэффициентов из табл. 2 (32)÷(34) принимают вид:

                               (35)

           (36)

                                                           (37)

здесь

     (38)

Из выражения (38), что соответствует объекту защиты, следует, что при кинематическом возмущении возникает режим динамического гашения на частоте

.                                                              (39)

Параметры состояния виброзащитной системы по координатам  и  могут быть  определены по выражениям (35), (37), а частоты собственных колебаний из частотного уравнения (38).

Отметим, что  даже при присоединении объекта к подвижному основанию через каскад из  и  режим динамического гашения реализуется. Будем полагать, что внешнее возмущение имеет не кинематический, а силовой характер в виде силы , приложенной к объекту . В этом случае можно полагать, что в выражении (33)  , тогда

          (40)

Из (40) следует, что в системе в случае силового возмущения возможно два режима динамического гашения: первый из них на частоте

                                                     (41)

второй режим определяется выражением (41). При кинематическом возмущении структурная схема (рис. 9а) может быть преобразована к виду, как показано на рис. 10.

Рис. 10. Структурная схема виброзащитной системы (по рис. 9 а),

приведенная к объекту защиты

 

Найдем передаточную функцию , используя структуру на рис. 10:

             (42)

Из структурной схемы на рис. 10 следует, что при кинематическом возмущении динамический гаситель колебаний входит в структурную схему дополнительной обратной связью, в которой режим увеличения усиления   определяется из (41). В свою очередь, полагая , получим, что система превращается в структуру, показанную на рис. 11.

Рис. 11. Расчетная схема виброзащитной системы (рис. 8) в режиме

динамического гашения при кинематическом возмущении

 

Амплитуды колебаний масс  и  могут быть получены из выражений (35), (37) и (42). Если возмущение носит силовой характер, когда , а возмущение  будет приложено к объекту , то структурная схема виброзащитной системы, представленная на рис. 11, преобразуется к виду, как показано на рис. 12.

Рис. 12. Структурная схема исходной виброзащитной системы

(рис. 11) при силовом возмущении

 

Из анализа схемы (рис. 12) следует, что в формировании режимов динамического гашения участвует более сложная структура, чем непосредственно объект защиты.

Найдем передаточную функцию системы

                           (43)

Выражение (43) можно получить, если использовать (33), полагая, что

.

При силовом возмущении  в системе могут возникать два режима динамического гашения на разных частотах, определяемых из выражений (39), (41). Таким образом, характер внешнего воздействия в механической колебательной системе предопределяет детализированные представления о режимах динамического гашения.

III. Некоторые обобщение подхода. Рассмотрим ситуацию с механической системой, которая может иметь большее, чем три, число степеней свободы (рис. 13).

Рис. 13. Расчетная схема виброзащитной системы с  степенями 

свободы с объектом защиты  при внешней силе возмущения

 

Возможности упрощения расчетных схем, подобных схеме на рис. 13, рассмотрены более подробно в работе [9]. Воспользуемся некоторыми приемами упрощения (рис. 14) для системы с несколькими степенями свободы, структура которой позволяет использовать свертки дополнительных цепей.

а)

б)

 

Рис. 14. Расчетная схема с упрощениями: а – схема упрощенного вида
с двумя степенями свободы; б – детализированная схема

Из рис. 14 видно, что контуры I и II формируют обобщенные пружины с соответствующими обобщенными жесткостями  и  [10]. Система уравнений движения для схемы на рис. 17 принимает вид

откуда можно найти, что

                                     (44)

Заключение. Таким образом, при силовом возмущении , приложенному к объекту , режим динамического гашения возможен. Однако при возмущении со стороны основания необходима реализация другой последовательности действий [10], поскольку необходимо учесть влияние переносных сил инерции. Упомянутое также связано и с тем, что  и  представляют собой дробно-рациональные выражения, которые, в конечном итоге, переходят в числитель (44) и формируют дополнительные режимы динамического гашения. Введение динамического гасителя классического типа в виде подпружиненной массы, присоединяемой к объекту защиты, к которому приложена внешняя сила , обеспечивает несколько режимов динамического гашения. Последнее зависит от сложности системы в целом и ее структурных особенностей.

 

Библиографический список

1.        Елисеев С.В. Динамические гасители колебаний / С.В. Елисеев, Г.П. Нерубенко. – Новосибирск: Наука. 1982. – 142 с.

2.        Елисеев С.В. Мехатроника виброзащитных систем. Элементы теории / С.В. Елисеев, Ю.Н. Резник, Р.Ю. Упырь, В.Е. Гозбенко, И.В. Фомина // Иркутский государственный университет путей сообщения. – Иркутск. 2009. – 128 с. – Рус. Деп. В ВИНИТИ 27.11.09 ╧ 738 – В 2009.

3.        Елисеев С.В. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / С.В. Елисеев, Ю.Н. Резник, А.П. Хоменко, А.А. Засядко. – Иркутск. Изд-во Иркутского государственного университета. 2008. – 523 с.

4.         Упырь Р.Ю., Ермошенко Ю.В. Межкоординатные дополнительные связи в системах балочного типа // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Вып. ╧ 1 (25). ИрГУПС. Иркутск. 2010. С. 70-74.

5.        Ермошенко Ю.В. Динамическое гашение колебаний в виброзащитных системах с использованием Г-образных рычажных связей / Ю.В. Ермошенко, И.В. Фомина // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Вып. ╧ 2 (22). ИрГУПС. Иркутск. 2009. С. 85-89.

6.        Елисеев С.В. Новые подходы в теории колебаний. Задачи управления динамическим состоянием на основе  введения дополнительных связей // Винеровские чтения. Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции. – Иркутск: ИрГТУ. 2009. С. 46-60.

7.        Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Т.2 Динамика. – М.: Наука. 1968. 630 с.

8.        Яблонский А.А., Норейко С.С. Курс теории колебаний. М.: Высшая школа, 1975.— 163 с.

9.        Насников Д.Н. Формы и особенности динамического взаимодействия звеньев в виброзащитных системах с расширенным набором типовых элементов  // дис. … канд. техн. наук. – Иркутск: ИрГУПС, 2009. – 184 с.

10.    Елисеев С.В. Обобщенные пружины в задачах защиты машин и оборудования / С.В. Елисеев, С.В. Белокобыльский, Р.Ю. Упырь // Збiрник наукових праць. Выпуск ╧3 (25). Том 1. – Полтава: Полтавский нац. технич. университет. 2009. С. 79-90.

Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2022 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)