НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 621.813, 621.815

МГТУ им. Н.Э.Баумана, г. Москва

victorfa@mail.ru

dmitriyblinov@mail.ru

Цикл статей посвящен разработке инженерной методики расчета соединения двух деталей с цилиндрическими сопрягаемыми поверхностями с малым радиальным зазором и различной жесткостью охватывающей детали. В первом случае, введя ориентировочную оценку по жесткости охватывающей детали, считаем последнюю безграничной в радиальном направлении. Для первого случая в работе / 1 / в общей постановке представлена методика определения формы и размеров эпюры контактного давления и построены графики для расчета этих параметров. Было установлено, что эпюра контактного давления в зависимости от угловой координаты изменяется по эллиптической зависимости. Данная статья является продолжением работы / 1 /.

Обычно прочность охватывающей детали с цилиндрическим отверстием ниже, чем прочность охватываемой цилиндрической детали, взаимодействующей с указанным отверстием. Цель данной статьи определение напряженно-деформированного состояния охватывающей детали.

Теоретические исследования проводились методами задачи плоской деформации теории упругости [2, 3].

2.3. Разложение эллиптической эпюры контактного давления в ряд Фурье.

На рис. 1 показана расчетная схема для определения напряженно-деформированного состояния охватывающей детали 2.

Рис. 1. Расчетная схема.

На этом рисунке:

 – радиус отверстия в охватывающей детали;

Е₂  и    – модуль упругости и коэффициент Пуассона охватывающей детали;

 – контактное давление;

 – максимальное значение контактного давления;

 – полуугол контакта;

  и   – полярные координаты.

Для упрощения расчетов в работе / 1 / для определения контактного давления было принято допущение о том, что детали соединения с зазором металлические. Приняв , при определении контактного давления может получиться ошибка, которая не превышает одного процента. В данной статье можно учитывать реальное значение коэффициента Пуассона охватывающей детали.

Эпюра контактного давления (см. рис. 1) раскладывалась в ряд Фурье [4]

,                               ( 1 )

где  – функция Бесселя первого рода порядка 1 [5] определялась численно с помощью интегрального представления [6].

Число членов ряда Фурье выбиралось из условия, чтобы погрешность при разложении для любой угловой координаты  (в том числе, при , где контактное давление равно нулю) не превышала 1 – 2%  от  р_MAX.

Для достижения указанной погрешности с уменьшением полуугла контакта    число членов  m   ряда Фурье увеличивается. К примеру, для малых полууглов  контакта   число членов  m > 1000 … 2000. Объясняется это эффектом Гиббса [4], который проявляется на краях (ориентировочно для углов в диапазоне  ± 0,2×) зоны контактного давления в скачкообразном увеличении разложенного в ряд давления. Для уменьшения числа членов  m  ряда Фурье использовался множитель Ланцоша [7], с помощью которого число членов удалось снизить на 30 – 40 %, но для малых углов    число членов  m  все равно превышало 1000.

2.4. Исследование напряженного состояния охватывающей детали.

Для определения напряжений в полярных координатах выберем, удовлетворяющую бигармоническому уравнению, функцию напряжений Эри в следующем виде [2, 3]

,                  (2)

где:  – произвольные постоянные, которые определяются из граничных условий.

Компоненты напряжений определяются по следующим зависимостям

;                                                  (3)

;                                                                  (4)

                                                       (5)

Граничные условия:  для                 ;         .

                                     для              ;                  .

Функция Эри дифференцировалась по формулам (3) – (5), затем в полученные выражения подставлялись граничные условия, и после целого ряда преобразований получены следующие зависимости для определения компонентов напряжений

     (6)

               (7)

                      (8)

                                                                            (9 )

Анализ напряженного состояния охватывающей детали. Напряженное состояние этой детали определялось для полууглов контакта   = 2°; 10°; 20°; 30°; 40°; 50° и 60°. Для общности результатов расчета вводились безразмерные параметры  и . Безразмерный параметр характеризует эквивалентные напряжения, а  ρ является безразмерным радиусом. Диапазон изменения безразмерного радиуса  ρ  составляет от  1  для    до  0  для  .

Используя гипотезу наибольших касательных напряжений [8], определялось напряженное состояние в точках охватывающей детали. Как показал анализ, точка «Б», в которой действует наибольшее значение эквивалентных напряжений  s_МАХ,  располагается в общем случае в глубине детали под максимальным контактным давлением (при  = 0) на некотором радиусе R, см. рис. 1. Для больших полууглов контакта   указанный радиус , то есть точка «Б», в которой действует наибольшее эквивалентное напряжение  s_МАХ, располагается на поверхности отверстия охватывающей детали.

На рис. 2 показаны графики зависимости безразмерных эквивалентных напряжений   от безразмерного радиуса     вдоль оси      для угловой координаты  = 0, см. рис. 1.

Для примера рассмотрим график, построенный для полуугла контакта  = 2°, см. рис. 2. Экстремум этого графика соответствует безразмерному радиусу  . Отсюда, зная  , можно определить радиус .

С увеличением полуугла контакта  значение безразмерному радиусу , который соответствует экстремуму рассматриваемого графика, сначала уменьшается, а затем возрастает, см. рис. 2. Чтобы лучше понять это изменение на рис. 2 для сравнения приведен аналогичный график для случая, когда отверстие охватывающей детали нагружено равномерным давлением  .

Рис. 2. Графики изменения безразмерных эквивалентных напряжений   от безразмерного радиуса     для различных полууглов контакта 

С увеличением полуугла контакта j₀  значение безразмерному радиусу , который соответствует экстремуму рассматриваемого графика, сначала уменьшается, а затем возрастает, см. рис. 2. Чтобы лучше понять это изменение на рис. 2 для сравнения приведен аналогичный график для случая, когда отверстие охватывающей детали нагружено равномерным давлением  .

Графики, изображенные на рис. 2, неудобны для применения, поэтому они были перестроены. На рис. 3 даны графики зависимости наибольшего значения эквивалентных напряжениий  и радиуса  R  его залегания от полуугла контакта . Причем для удобства практического применения эти графики совмещены, а для общности даны в безразмерном виде.

Для сравнения на рис. 3 пунктиром показаны аналогичные зависимости в контактной задаче Герца, применимой для малых полууглов контакта [8], когда кривизну отверстия в охватывающей детали не учитывают и площадку контакта считают плоской, линейчатой. Хорошая сходимость с общепризнанной задачей Герца, в зоне в которой она применима, подтверждает правильность выполненных теоретических исследований.

Рис. 3. Графики зависимости наибольшего эквивалентного напряжения     и

радиуса  R  его залегания от полуугла контакта

2.5. Исследование деформированного состояния охватывающей детали (определение перемещений точек охватывающей детали).

На рис. 1 показана точка «А» с произвольными координатами    и  , когда охватывающая деталь 2 ненагружена. После приложения контактного давления   точка  «А»  сместится в точка  «А΄». При этом   u – это ее радиальное перемещение, а  v – окружное перемещение. Цель данного подраздела исследований – определение указанных перемещений.

Для данного исследования исходными являются выражения (6) – (9) для компонентов напряжений. Компоненты напряжений связаны следующими  зависимостями Гука с радиальными  , окружными    и угловыми   деформациями:   

;                                             (10)

;                                              (11)

.                                                                (12)

Подставим в уравнения (10) – (12) значения компонентов напряжений, см зависимости (6) – (9), и получим выражения для деформаций.      

Зависимости Коши связывают полученные деформации с радиальными  u  и окружными  v  перемещениями:

;                                                                    (13)

;                                                                                                 (14)

                                                    (15)

Подставим в уравнения  (13) – (15) полученные выражения для деформаций. Затем проинтегрируем полученные зависимости и, сделав целый ряд преобразований, получим формулы для определения искомых перемещений

,                                                             (16)

Где

                                           (17)

,    (18)

Где

;                                          (19)

           и  – неизвестные функции.

После ряда преобразований получим следующее дифференциальное уравнение, в которое входят неизвестные функции  и

.                                            (20)

Решениями этого уравнения будут [6, 9]

;                                              (21)

.                                                                        (22)

Произвольные постоянные  ,  и  определяются из уравнений (16) и (18),   используя  свойство  двойной  симметрии задачи.  В  итоге  получили   и окончательные выражения для искомых перемещений

;      (23)

,                          (24)

где    и    определяются по формулам (17) и (19), а коэффициенты ряда Фурье – из выражения (1).

Построить удобные для практического применения графики по определению перемещений точек охватывающей детали не удалось, так как каждое из перемещений зависит от координат  и , а также – от полуугла контакта  .

Для расчета перемещений в конкретной задаче необходимо разработать программу для ЭВМ, исходными данными для которой будут:  радиусы деталей соединения    и  ,  протяженность контакта деталей вдоль оси  L, модули упругости  Е₁  и  Е₂  и коэффициенты Пуассона    и     соединяемых деталей, суммарная силы  F  (погонная нагрузка  q = F/L).  

Далее, см. работу [1], по графикам определяются полуугол контакта    и максимальное контактное давление  р_MAX, которые будут дополнительными исходными данными для расчета перемещений.

Задаемся числом членов  m   ряда Фурье. Если , то рекомендуется  m = 1500. В противном случае рекомендуется  m = 1000. Рекомендуемые значения  m  с гарантией обеспечат точность расчетов, которая принята в п. 2.3 данной статьи.

Программируем вычисление радиального  u  и окружного  v  перемещений, см. формулы (23) и (24). При этом    и    определяются по формулам (17) и (19), а коэффициенты ряда Фурье, используя зависимость (1), соответственно равны ;    .

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Работа посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния безграничной в радиальном направлении охватывающей детали соединения цилиндрических деталей с малым зазором под действием контактного давления. Методика определения контактного давления изложена в предыдущей работе.

2. Исследование проводилось методами задачи плоской деформации теории упругости с известными допущениями.

3. В результате проведенного исследования получены зависимости по определению  напряжений, деформаций и перемещений в точках охватывающей детали.

4. В результате анализа установлено, что для полуугла контакта   точка, в которой действует наибольшие  эквивалентные напряжения, располагается в глубине детали под максимальным контактным давлением на некотором радиусе R. Величина радиуса  R  зависит от  . Для полуугла контакта   указанная точка располагается на поверхности отверстия охватывающей детали.

5. Для инженерной методики расчета разработаны графики, позволяющие по значениям полуугла контакта, максимального контактного давления и радиуса отверстия в охватывающей детали определять максимальные эквивалентные напряжения в указанной детали и положение точки, в которой они возникают.  

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Блинов Д.С., Алешин В.Ф.  Определение эпюры контактного давления для соединения деталей по цилиндрическим поверхностям с малым зазором (случай, когда охватывающая деталь безгранична в радиальном направлении). Электронный журнал «Наука  и  образование:  электронное  научно-техническое  издание»  МГТУ  им.Баумана, # 05, май 2011.

2. Демидов С.П. Теория упругости. – М.: Высшая школа, 1979. – 432 с.

3. Тимошенко С.П.,   Гудьер  Дж.  Теория упругости.  – М.: Наука, 1979. – 560 с.

4. Мышкис А. Д.  Лекции по высшей математике.  – М.: Наука, 1973. – 640 с.

5. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф.  Специальные  функции. – М.: Наука, 1964. – 344 с.

6. Корн Г.,  Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1970. – 720 с.

7. Ланцош К.  Практические  методы  прикладного  анализа.  – М.:  Физматгиз,  1961. – 524 с.

8. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник в 3-х томах. / Под ред. И.А.Биргера, Я.Г.Пановко .  – М.: Машиностроение, т. 2, 1968. – 463 с.

9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1976. – 576 с.