НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 519.6

МГТУ им. Н.Э. Баумана, 105005,
Москва, 2-я Бауманская ул., д.5.

karpenko@nog.ru

Введение

            Работа представляет собой продолжение работы [1]. Первый раздел посвящен разработке математических моделей кинематики и динамики гексапода с четырьмя степенями свободы, второй раздел - гексапода с шестью степенями свободы. В третьем разделе рассматриваются математические модели указанных механизмов с параллельной кинематикой, полученные средствами известного программного комплекса MatLab. В заключении формулируются основные результаты работы.

            В работе используется двухуровневая нумерация формул и рисунков, содержащая номер раздела и номер объекта в этом разделе.

         1 Кинематика и динамика гексапода с четырьмя степенями свободы

         1.1 Обратная задача кинематики.Для гексапода (рисунок. 1.1) обратная кинематическая задача решается аналогично тому, как это сделано для трипода [1].

            Пусть обобщенными координатами  являются длины стержней ,,…, соответственно. Пусть также в неподвижной декартовой системе координат  координаты точек  равны , а точек  - , где , .

Рисунок 1.1 - Схема гексапода

            Во введенных обозначениях решение обратной задачи кинематики для гексапода (как с четырьмя, так и с шестью степенями свободы) дает следующая система уравнений:

;

;

…

.

         1.2 Прямая задача кинематики.Пусть невесомые стержни , ,  состоят из двух полуштанг, связанных поступательными кинематическими парами. Стержни ,  присоединены к платформе в точках  с помощью сферических шарниров, а к основанию в точках  - с помощью универсальных шарниров; стержень  связан с основанием неподвижно, а с платформой – с помощью сферического шарнира (рисунок 1.2). Точки  лежат на окружности радиуса  с центром в точке B, в которой находится центр масс платформы. Основание горизонтально и точки  расположены на окружности радиуса  с центром в точке A. Опорные стержни  имеют длины ,  и наклонены к плоскости основания под углами , (). Расстояние между точкой  и основанием (плоскостью ) обозначим .

            Свяжем с основанием систему координат  таким образом, что начало координат A совпадает с центром симметрии основания, ось  проходит через шарнир , ось  направлена по нормали к основанию, а ось  образует с осями ,  правую тройку. Аналогично, свяжем с платформой систему координат  (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 - Геометрия гексапода с четырьмя степенями свободы

Положение шарниров  в системе координат  определяется векторами

, .                                                         (1.1)

Аналогично, положение шарниров  в системе координат  определяется векторами

, .                                                         (1.2)

Положение платформы относительно основания определяется углами Эйлера  (рисунок 1.3) и вектором .

Таким образом, геометрические соотношения между системами координат ,  можно представить в виде () матрицы однородных преобразований

                                    (1.3)

где компоненты матрицы выражаются через углы Эйлера следующим образом:

Рисунок 1.3 - К преобразованию систем координат

Из выражений (1.2), (1.3) следует, что положение шарнира ,  в системе координат  определяется вектором

.              (1.4)

Отсюда следует, что

            Из формул (1.1), (1.4) следует, что обобщенная координата , как функция расстояния  и углов  определяется выражением

, .                    (1.5)

            Выражения для скоростей и ускорений концов штанг  (точек ) можно найти, дифференцируя и дважды дифференцируя по  выражения (1.5). Однако эти выражения оказываются слишком громоздкими и мало пригодными для практического использования. Исследование скоростей и ускорений концов штанг  проще производить с помощью математического моделирования, например, с использованием программной системы MatLab (см. ниже).

         1.3 Динамика механизма.По методике работы [1] найдем уравнения движения платформы в форме уравнений Лагранжа

, ,                                           (1.6)

где  - кинетическая энергия системы; , , ,  - обобщенные координаты;  - обобщенная сила, соответствующая -ой обобщенной координате.

            Положим, что платформа, как твердое тело, симметрична относительно оси , так что ее моменты инерции  равны:  (рисунок 1.4).

            Массу платформы обозначим . В таком случае ее кинетическая энергия равна

,                                       (1.7)

где  - величина полной скорости центра масс платформы .

            Поскольку в системе координат  вектор скорости , эта величина равна (рисунок 1.4).

Рисунок 1.4 – Силы, действующие на платформу

            Выпишем силы, действующие на платформу, а также радиусы-векторы , ,  точек их приложения в проекциях на оси системы координат :

;        ;                    (1.8)

,           .                            (1.9)

Здесь

.

      Нам далее понадобятся матрицы Якоби  векторов , . Из (1.4) следует, что компоненты матрицы  определяются следующими формулами:

;

            Составим выражение для работы на элементарных приращениях и, в соответствии с методикой составления уравнений Лагранжа, приравняем его нулю:

.                                                  (1.10)

Здесь

, , .                            

            Из выражений для компонентов матриц ,  следует, что элементы вектора  определяются следующим образом:

            В приведенных выражениях для , ,  обозначим  коэффициент при , :

…

В этих обозначениях имеем

, , ,                             (1.11)

            Подставив выражения (1.11) в (1.10), после несложных преобразований получим

+

+.

            Приравнивая в последнем выражении коэффициенты при независимых приращениях , получим следующие значения обобщенных сил:

;

; ;

            Подставляя в уравнения (1.6) полученные выражения для обобщенных сил, а также выражения для кинетической энергии системы (1.7), получим искомую систему обыкновенных дифференциальных уравнений

,             ,   (1.12)

, .   (1.13)

            В уравнениях (1.12), (1.13) силы  - это внешние (управляющие) силы, которые могут быть заданы как функции времени, как функции обобщенных координат , а также как функции длин «своих» стрежней . Наоборот, при заданных законах изменения величин  из этих уравнений могут быть найдены необходимые управляющие силы, как функции времени.

         2 Кинематика и динамика гексапода с шестью степенями свободы

            Обратная задача кинематики для гексапода рассмотрена в подразделе 1.1. Поэтому сразу перейдем к рассмотрению прямой задачи.

         2.1 Прямая задача кинематики.Пусть невесомые стержни , ,  состоят из двух полуштанг, связанных поступательными кинематическими парами. Стержни ,  присоединены к платформе в точках  с помощью сферических шарниров, а к основанию в точках  - с помощью универсальных шарниров; стержень  связан с основанием неподвижно, а с платформой – с помощью сферического шарнира (рисунок 2.1). Точки  лежат на окружности радиуса  с центром в точке B, в которой находится центр масс платформы. Основание горизонтально и точки  расположены на окружности радиуса  с центром в точке A. Опорные стержни  имеют длины ,  и наклонены к плоскости основания под углами , ().

            Свяжем с основанием систему координат  таким образом, что начало координат A совпадает с центром симметрии основания, ось  проходит через шарнир , ось  направлена по нормали к основанию, а ось  образует с осями ,  правую тройку. Аналогично, свяжем с платформой систему координат  (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1 - Геометрия гексапода с шестью степенями свободы

Положение шарниров ,  в системе координат  определяется соответственно векторами

, , .                        (2.1)

            Положение платформы относительно основания определяется углами Эйлера  (рисунок 1.3) и вектором .

Подобно тому, как это сделано в разделе 1, геометрические соотношения между системами координат ,  задаются в виде ()-матрицы однородных преобразований

,

где компоненты ,  матрицы  выражаются через углы Эйлера следующим образом

            Таким образом, положение шарнира ,  в системе координат  определяется вектором

.                                           (2.2)

            Из формул (2.1), (2.2) следует, что обобщенная координата , как функция величин  определяется выражением

, .                (2.3)

            Выражения для линейных и угловых скоростей и ускорений концов штанг  (точек ) можно найти, дифференцируя и дважды дифференцируя по  выражения (2.3). Однако эти выражения оказываются слишком громоздкими и мало пригодными для практического использования. Исследование скоростей и ускорений концов штанг  проще производить с помощью математического моделирования, например, с использованием программной системы MatLab (см. ниже).

            Заметим, что во введенных обозначениях углы между штангой ,  и осями системы координат  определяются формулой

, ,

где углы , ,  - углы между штангой  и осями , ,  соответственно.

         2.2 Динамика механизма.По методике, использованной в подразделе 1.3, найдем уравнения движения платформы в форме уравнений Лагранжа

, ,                                           (2.4)

где  - кинетическая энергия системы; , , , , , - обобщенные координаты;  - обобщенная сила, соответствующая -ой обобщенной координате.

            Положим, что платформа, как твердое тело, симметрична относительно оси , так что ее моменты инерции  равны:  (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 – Силы, действующие на платформу

            Массу платформы обозначим . В таком случае ее кинетическая энергия равна

.                      (2.5)

            Выпишем силы, действующие на платформу, а также радиусы-векторы , ,  точек их приложения в проекциях на оси системы координат :

;        ;                    (2.6)

,  .                            (2.7)

      Нам далее понадобятся матрицы Якоби  векторов , . По аналогии с разделом 4 из (2.6), (2.7) имеем:

;    ; ;

 ; ;

 ; ;

            Составим выражение для работы на элементарных приращениях и, в соответствии с методикой составления уравнений Лагранжа, приравняем его нулю:

.                                                  (2.8)

Здесь

, , .

            Поскольку , скалярное произведение . Из выражений для компонентов матриц ,  следует, что элементы вектора  определяются следующим образом:

            Аналогично разделу 4, в приведенных выше выражениях для , ,  обозначим  коэффициент при , . В этих обозначениях получим более компактные выражения для элементарных приращений , , :

;                                                    (2.9)

;                                                    (2.10)

.                                                    (2.11)

            Подставив выражения (2.9) – (2.11) в (2.8), после несложных преобразований получим

+.

            Приравнивая в последнем выражении коэффициенты при независимых приращениях , получим следующие значения обобщенных сил:

; ; ;

; ;

            Подставляя в уравнения (2.4) полученные выражения для обобщенных сил, а также выражения для кинетической энергии системы (2.5), получим искомую систему обыкновенных дифференциальных уравнений

, , ,       (2.12)

,                                       (2.13)

,                                     (2.14)

.                                     (2.15)

            В уравнениях (2.12) - (2.15) силы  - это внешние (управляющие) силы, которые могут быть заданы как функции времени, как функции обобщенных координат , а также как функции длин «своих» стрежней . Наоборот, при заданных законах изменения величин  из этих уравнений могут быть найдены необходимые управляющие силы, как функции времени.

3 MatLab моделирование кинематики и динамики гексапода с шестью степенями свободы

            Simulink-модель указанного гексапода приведена на рисунке 3.1.      Использованные в модели гексапода средства визуализации движения представлены на рисунке 3.2.

Рисунок 3.1 - Simulink-модель гексапода с шестью степенями свободы без датчиков и «осциллографов»

Рисунок 3.2 - Визуализации движения гексапода (фрагмент)

            Тестирование рассматриваемой модели гексапода выполнено при изменении длины одной из штанг по гармонического закону  - рисунок 3.3.

Рисунок 3.3 – Перемещение штанги (L), скорость штанги (V) и ускорение (a)

Заключение

            Для гексапода с четырьмя степенями свободы получены следующие результаты: решена обратная задача кинематики; решена прямая задача кинематики - получены уравнения, определяющие длины штанг, как функции обобщенных координат; разработана математическая модель динамики механизма в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат. Аналогичные результаты получены для гексапода с шестью степенями свободы.

            Кроме того, для гексапода с шестью степенями свободы разработана Simulink-модель его кинематики и динамики. Тестовые эксперименты с указанной моделью показала ее адекватность.

            Полученные в работе результаты представляют самостоятельный интерес, а также могут быть использованы для построения математических моделей многосекционного робота-манипулятора типа «хобот».

Литература

1                   ; Каганов Ю.Т., Карпенко А.П. Математическое моделирование кинематики и динамики секции робота-манипулятора типа «хобот». 2. Гексаподы // "Наука и образование: электронное научно-техническое издание", www.technomag.edu.ru, октябрь, 2009. http://technomag.edu.ru/doc/133262.html