Другие журналы
|
научное издание МГТУ им. Н.Э. БауманаНАУКА и ОБРАЗОВАНИЕИздатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211. ISSN 1994-0408
Математическое моделирование кинематики и динамики робота-манипулятора типа ╚хобот╩. 2. Математические модели секции манипулятора, как механизма параллельной кинематики типа ╚гексапод╩
# 11, ноябрь 2009 DOI: 10.7463/1109.0133731 УДК 519.6 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 105005, karpenko@nog.ru
Введение Работа представляет собой продолжение работы [1]. Первый раздел посвящен разработке математических моделей кинематики и динамики гексапода с четырьмя степенями свободы, второй раздел - гексапода с шестью степенями свободы. В третьем разделе рассматриваются математические модели указанных механизмов с параллельной кинематикой, полученные средствами известного программного комплекса MatLab. В заключении формулируются основные результаты работы. В работе используется двухуровневая нумерация формул и рисунков, содержащая номер раздела и номер объекта в этом разделе.
1 Кинематика и динамика гексапода с четырьмя степенями свободы 1.1 Обратная задача кинематики.Для гексапода (рисунок. 1.1) обратная кинематическая задача решается аналогично тому, как это сделано для трипода [1]. Пусть обобщенными координатами являются длины стержней ,,…, соответственно. Пусть также в неподвижной декартовой системе координат координаты точек равны , а точек - , где , .
Рисунок 1.1 - Схема гексапода
Во введенных обозначениях решение обратной задачи кинематики для гексапода (как с четырьмя, так и с шестью степенями свободы) дает следующая система уравнений: ; ; … . 1.2 Прямая задача кинематики.Пусть невесомые стержни , , состоят из двух полуштанг, связанных поступательными кинематическими парами. Стержни , присоединены к платформе в точках с помощью сферических шарниров, а к основанию в точках - с помощью универсальных шарниров; стержень связан с основанием неподвижно, а с платформой – с помощью сферического шарнира (рисунок 1.2). Точки лежат на окружности радиуса с центром в точке B, в которой находится центр масс платформы. Основание горизонтально и точки расположены на окружности радиуса с центром в точке A. Опорные стержни имеют длины , и наклонены к плоскости основания под углами , (). Расстояние между точкой и основанием (плоскостью ) обозначим . Свяжем с основанием систему координат таким образом, что начало координат A совпадает с центром симметрии основания, ось проходит через шарнир , ось направлена по нормали к основанию, а ось образует с осями , правую тройку. Аналогично, свяжем с платформой систему координат (рисунок 1.2).
Рисунок 1.2 - Геометрия гексапода с четырьмя степенями свободы
Положение шарниров в системе координат определяется векторами , . (1.1) Аналогично, положение шарниров в системе координат определяется векторами , . (1.2) Положение платформы относительно основания определяется углами Эйлера (рисунок 1.3) и вектором . Таким образом, геометрические соотношения между системами координат , можно представить в виде () матрицы однородных преобразований (1.3) где компоненты матрицы выражаются через углы Эйлера следующим образом:
Рисунок 1.3 - К преобразованию систем координат
Из выражений (1.2), (1.3) следует, что положение шарнира , в системе координат определяется вектором . (1.4) Отсюда следует, что Из формул (1.1), (1.4) следует, что обобщенная координата , как функция расстояния и углов определяется выражением , . (1.5)
Выражения для скоростей и ускорений концов штанг (точек ) можно найти, дифференцируя и дважды дифференцируя по выражения (1.5). Однако эти выражения оказываются слишком громоздкими и мало пригодными для практического использования. Исследование скоростей и ускорений концов штанг проще производить с помощью математического моделирования, например, с использованием программной системы MatLab (см. ниже). 1.3 Динамика механизма.По методике работы [1] найдем уравнения движения платформы в форме уравнений Лагранжа , , (1.6) где - кинетическая энергия системы; , , , - обобщенные координаты; - обобщенная сила, соответствующая -ой обобщенной координате. Положим, что платформа, как твердое тело, симметрична относительно оси , так что ее моменты инерции равны: (рисунок 1.4). Массу платформы обозначим . В таком случае ее кинетическая энергия равна , (1.7) где - величина полной скорости центра масс платформы . Поскольку в системе координат вектор скорости , эта величина равна (рисунок 1.4).
Рисунок 1.4 – Силы, действующие на платформу
Выпишем силы, действующие на платформу, а также радиусы-векторы , , точек их приложения в проекциях на оси системы координат : ; ; (1.8) , . (1.9) Здесь . Нам далее понадобятся матрицы Якоби векторов , . Из (1.4) следует, что компоненты матрицы определяются следующими формулами: ;
Составим выражение для работы на элементарных приращениях и, в соответствии с методикой составления уравнений Лагранжа, приравняем его нулю: . (1.10) Здесь , , . Из выражений для компонентов матриц , следует, что элементы вектора определяются следующим образом: В приведенных выражениях для , , обозначим коэффициент при , : … В этих обозначениях имеем , , , (1.11) Подставив выражения (1.11) в (1.10), после несложных преобразований получим + +. Приравнивая в последнем выражении коэффициенты при независимых приращениях , получим следующие значения обобщенных сил: ; ; ; Подставляя в уравнения (1.6) полученные выражения для обобщенных сил, а также выражения для кинетической энергии системы (1.7), получим искомую систему обыкновенных дифференциальных уравнений , , (1.12) , . (1.13) В уравнениях (1.12), (1.13) силы - это внешние (управляющие) силы, которые могут быть заданы как функции времени, как функции обобщенных координат , а также как функции длин «своих» стрежней . Наоборот, при заданных законах изменения величин из этих уравнений могут быть найдены необходимые управляющие силы, как функции времени.
2 Кинематика и динамика гексапода с шестью степенями свободы Обратная задача кинематики для гексапода рассмотрена в подразделе 1.1. Поэтому сразу перейдем к рассмотрению прямой задачи. 2.1 Прямая задача кинематики.Пусть невесомые стержни , , состоят из двух полуштанг, связанных поступательными кинематическими парами. Стержни , присоединены к платформе в точках с помощью сферических шарниров, а к основанию в точках - с помощью универсальных шарниров; стержень связан с основанием неподвижно, а с платформой – с помощью сферического шарнира (рисунок 2.1). Точки лежат на окружности радиуса с центром в точке B, в которой находится центр масс платформы. Основание горизонтально и точки расположены на окружности радиуса с центром в точке A. Опорные стержни имеют длины , и наклонены к плоскости основания под углами , (). Свяжем с основанием систему координат таким образом, что начало координат A совпадает с центром симметрии основания, ось проходит через шарнир , ось направлена по нормали к основанию, а ось образует с осями , правую тройку. Аналогично, свяжем с платформой систему координат (рисунок 2.1).
Рисунок 2.1 - Геометрия гексапода с шестью степенями свободы
Положение шарниров , в системе координат определяется соответственно векторами , , . (2.1) Положение платформы относительно основания определяется углами Эйлера (рисунок 1.3) и вектором . Подобно тому, как это сделано в разделе 1, геометрические соотношения между системами координат , задаются в виде ()-матрицы однородных преобразований , где компоненты , матрицы выражаются через углы Эйлера следующим образом
Таким образом, положение шарнира , в системе координат определяется вектором . (2.2) Из формул (2.1), (2.2) следует, что обобщенная координата , как функция величин определяется выражением , . (2.3) Выражения для линейных и угловых скоростей и ускорений концов штанг (точек ) можно найти, дифференцируя и дважды дифференцируя по выражения (2.3). Однако эти выражения оказываются слишком громоздкими и мало пригодными для практического использования. Исследование скоростей и ускорений концов штанг проще производить с помощью математического моделирования, например, с использованием программной системы MatLab (см. ниже). Заметим, что во введенных обозначениях углы между штангой , и осями системы координат определяются формулой , , где углы , , - углы между штангой и осями , , соответственно. 2.2 Динамика механизма.По методике, использованной в подразделе 1.3, найдем уравнения движения платформы в форме уравнений Лагранжа , , (2.4) где - кинетическая энергия системы; , , , , , - обобщенные координаты; - обобщенная сила, соответствующая -ой обобщенной координате. Положим, что платформа, как твердое тело, симметрична относительно оси , так что ее моменты инерции равны: (рисунок 2.2).
Рисунок 2.2 – Силы, действующие на платформу
Массу платформы обозначим . В таком случае ее кинетическая энергия равна . (2.5) Выпишем силы, действующие на платформу, а также радиусы-векторы , , точек их приложения в проекциях на оси системы координат : ; ; (2.6)
, . (2.7) Нам далее понадобятся матрицы Якоби векторов , . По аналогии с разделом 4 из (2.6), (2.7) имеем: ; ; ; ; ; ; ; Составим выражение для работы на элементарных приращениях и, в соответствии с методикой составления уравнений Лагранжа, приравняем его нулю: . (2.8) Здесь , , . Поскольку , скалярное произведение . Из выражений для компонентов матриц , следует, что элементы вектора определяются следующим образом: Аналогично разделу 4, в приведенных выше выражениях для , , обозначим коэффициент при , . В этих обозначениях получим более компактные выражения для элементарных приращений , , : ; (2.9) ; (2.10) . (2.11) Подставив выражения (2.9) – (2.11) в (2.8), после несложных преобразований получим +. Приравнивая в последнем выражении коэффициенты при независимых приращениях , получим следующие значения обобщенных сил: ; ; ; ; ; Подставляя в уравнения (2.4) полученные выражения для обобщенных сил, а также выражения для кинетической энергии системы (2.5), получим искомую систему обыкновенных дифференциальных уравнений , , , (2.12) , (2.13) , (2.14) . (2.15) В уравнениях (2.12) - (2.15) силы - это внешние (управляющие) силы, которые могут быть заданы как функции времени, как функции обобщенных координат , а также как функции длин «своих» стрежней . Наоборот, при заданных законах изменения величин из этих уравнений могут быть найдены необходимые управляющие силы, как функции времени.
3 MatLab моделирование кинематики и динамики гексапода с шестью степенями свободы Simulink-модель указанного гексапода приведена на рисунке 3.1. Использованные в модели гексапода средства визуализации движения представлены на рисунке 3.2.
Рисунок 3.1 - Simulink-модель гексапода с шестью степенями свободы без датчиков и «осциллографов»
Рисунок 3.2 - Визуализации движения гексапода (фрагмент)
Тестирование рассматриваемой модели гексапода выполнено при изменении длины одной из штанг по гармонического закону - рисунок 3.3.
Рисунок 3.3 – Перемещение штанги (L), скорость штанги (V) и ускорение (a)
Заключение Для гексапода с четырьмя степенями свободы получены следующие результаты: решена обратная задача кинематики; решена прямая задача кинематики - получены уравнения, определяющие длины штанг, как функции обобщенных координат; разработана математическая модель динамики механизма в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат. Аналогичные результаты получены для гексапода с шестью степенями свободы. Кроме того, для гексапода с шестью степенями свободы разработана Simulink-модель его кинематики и динамики. Тестовые эксперименты с указанной моделью показала ее адекватность. Полученные в работе результаты представляют самостоятельный интерес, а также могут быть использованы для построения математических моделей многосекционного робота-манипулятора типа «хобот».
Литература 1 ; Каганов Ю.Т., Карпенко А.П. Математическое моделирование кинематики и динамики секции робота-манипулятора типа «хобот». 2. Гексаподы // "Наука и образование: электронное научно-техническое издание", www.technomag.edu.ru, октябрь, 2009. http://technomag.edu.ru/doc/133262.html
Публикации с ключевыми словами: кинематика, динамика, робот-манипулятор, трипод, гексапод Публикации со словами: кинематика, динамика, робот-манипулятор, трипод, гексапод Смотри также:
Тематические рубрики: Поделиться:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|