НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 681.2.087;004.942.519.876.5

МГТУ им.Н.Э.Баумана, Тайвань
K_mt4@org.bmstu.ru



 

         Анализ экспериментальных результатов, представляемых соотношениями вида

                                                                     (1)

         или                                    (2)

         с целью определения величин , , , , по экспериментально регистрируемым зависимостям  относится к известному классу задачу Прони [1].

         К первоначальным вариантам постановки задач можно отнести предположение самого Прони об экспоненциальном законе убывания давления в потоке расширяющегося газа, а также проблему анализа состава распадающейся смеси радиоактивных компонентов.

         Материал, (например, многокомпонентный композит), испытывающий перестройку его внутренней структуры в результате применения к нему комплекса технологических воздействий, оказывается в термодинамически неравновесном состоянии, а затем постепенно приходит к термодинамическому равновесию.

         При этом материал, полученной заготовки на протяжении переходного процесса может обладать несколькими временами релаксации. [2],[3]. Измерительный контроль состояния материала, претерпевающего такого рода переходный процесс, может представить практический интерес.

         В связи с этим в данной работе выполнено имитационное математическое моделирование отклика термодинамически неравновесного материала на внешние тестовые воздействия с определением парциальных составляющих (мод) этого отклика, соответствующих различным значениям времени релаксации.

§ 1. Монотонная экспоненциально затухающая релаксация.

Пусть результирующий отклик на внешнее воздействие получен экспериментально и в результате его регистрации получен график представленный на Рис.1

Рис.1 Монотонная экспоненциальная релаксация

         Приведенному на графике результирующему отклику соответствует сумма релаксирующих с различными характерными временами составляющих :

                                                         (1.1)

         В       данной постановке задачи наблюдаемыми величинами, регистрируемыми экспериментально, являются значения величины результирующего отклика в различные моменты времени  -  и погрешности их определения . Определению подлежат величины и . Дальнейший рассмотрение ограничивается случаем .

         Из соотношения  (1.1) получается

                     .                              (1.2)

         Если предположить, что  распределены в порядке возрастания по закону , то все значения  положительны и при  справедливо

                                                                        (1.3)

         Очевидно, величина   может быть установлена перебором значений . Так как зависимость  получена экспериментально и обладает погрешностями, непосредственное использование соотношения (1.3) может привести к неконтролируемому нарастанию погрешностей.

         Соотношению (1.3) соответствует с учетом погрешностей входящих в него параметров выражение

                              ,                            (1.4)

с учетом справедливого при  ( - продолжительность времени наблюдения) приближения  окончательный результат:

                                                          (1.5)

здесь  погрешность определения величины  находится численно графически в процессе перебора значений параметра  по вариациям графиков зависимости , при .

         Аналогичным образом определяются значения , , , , с использованием зависимости

                                              (1.6)

В результате получается

                                                             (1.7)

                                      (1.8)

         Для третьего слагаемого справедливы соотношения

                                                     (1.9)

                                                                                       (1.10)                       (1.11)

         Для последнего слагаемого справедливо

                                                                                                  (1.12)

            (1.13)

         Таким образом, проведенное численно-графическое исследование показывает, что погрешность определения параметров исходной зависимости последовательно накапливается и необходимы меры по максимальному снижению погрешностей исходных данных, получаемых в результате измерений.

§ 2. Осциллирующая экспоненциально затухающая релаксация отклика.

Для реализации математической имитации процедуры анализа составляющих экспериментально зарегистрированного процесса вида

                             (2.1)

задаются исходные о параметрах , , , , () сведенное в таблицу 1

таблица 1

Исходное соотношение (2.1) подвергается зашумлению и его результат представлен на графике Рис.2.

Зашумленные исходные данные подвергается сглаживанию с помощью фильтров Савицкого-Голея.

Рис.2. Осциллирующая экспоненциальная релаксация отклика

Сглаживающие фильтры Савицкого—Голея, также называемые полиномиальными сглаживающими фильтрами или сглаживающими фильтрами с минимальной квадратической ошибкой, как правило, используются для «сглаживания» зашумленных сигналов с широким (без шума) спектром. В данном случае сглаживающие фильтры Савицкого—Голея работают намного лучше обычных усредняющих нерекурсивных фильтры, которые имеют тенденцию вместе с шумом удалять значительную долю высокочастотных составляющих сигнала. Фильтры Савицкого—Голея лучше сохраняют высокочастотные компоненты сигнала, однако обеспечивают худшее подавление шума по сравнению с обычными нерекурсивными фильтрами. график представлен на Рис.3.

                                                                     (2.2)

Рис.3. фильтрация фильтром Савицкого-Голея

Полагается, что как и в предыдущем параграфе, параметры , характеризующие затухание гармоник , образуют последовательность

                                    (2.3)

         Это позволяет перебором величин параметра , в интервале   привести зависимость  к виду

             (2.4)

Для определения значения параметра  вычисляются последовательности интегралов

                       (2.5)

Где параметр  принимает значения  для различных пробных вариантов. Рис.4.

Рассмотрение графиков на Рис.3. и Рис.4. позволяет выделить области  и  для определения циклической частоты  и амплитуды  соответственно. Рис.5.

Рис.4. для различных пробных вариантов

Значение  определяется с подошью преобразования Фурье (Рис.5) и оказывается равным . для амплитуды  находится предварительное значение. (Рис.6. .)

Рис.5. преобразования Фурье

Этот результат получается выделением в области  , значений минимально отклоняющихся амплитуд колебаний при переборе значений  , которое определяется при этом одновременно .

Рис.6 предварительное значение амплитуды .

Значение фазы  определяется из последовательности величин, получаемых численными расчетами на интервала

                                  (2.6)

Вычисление показывает, что при стремлении  к предельному значению, равному 84, величина этого интеграла стабилизируется (Рис.8). это означает , что .

При этом из соотношения (2.5) следует значение   .                                      (2.7)

Рис.7. определение значения фазы

Получив стабилизировавшееся значение интервала , можно определить значение фазы .

                                      (2.8)

За окончательное и наиболее точное значение амплитуды принимается её величина на последнем периоде в окрестности .

Таким образом, для первого слагаемого выражения (2.1) определены все параметры  , , ,  сведенные в таблицу 2.

Таблица. 2

         Для определения параметров второго слагаемого исходного соотношения (2.2) необходимо выполнить преобразования функции .

                                             (2.9)

График этой функции представлен на Рис.7.

Рис.8

В первую очередь подбирается значение  параметра  путем анализа поведения функций  в зависимости от величины .

Для больших значениях . вычисления показывают, что при  величины интегралов можно заменить суммами :

                                     (2.10)

где  

Рис.9. путем анализа поведения функций

Эти суммы уменьшаются с ростом , то есть с ростом параметра , С другой стороны, при  происходит уменьшения значений величины до этих суммы , а затем они увеличиваются. Поэтому принимается предварительное значение .Рис.9.

         Применение к соотношению (2.9) преобразования Фурье при  позволяет определить параметр - циклическую частоту второй убивающейся по амплитуде гармоники.(Рис.10). В результате расчетов получается .

Рис.10. преобразование Фурье при

Из графика значений максимума функции , представленного на Рис.11, можно определить предварительное значение амплитуды , получаемое как среднее арифметическое 30 величин

                                                                     (2.11)

Рис.11. среднее арифметическое 30 величин

         Уточнение значения величин , и определение величины фазы  производиться с помощью соотношения

                                      (2.12)

         Последовательность значений интегралов представлена на графиках (Рис.11). Из первого видно, что область наиболее стабильных значений фазы соответствует окрестности .

Уточненное значение  получается в окрестности  (Рис.12) и оказывается равным . Сопоставление графиков Рис.11, показывает что уточенному значению , соответствует диапазон , при этом

                                                                  (2.13)

Рис.12. уточненное значение  получается в окрестности .

         Используя это уточнённое значение , в следующем из формулы (2.12) соотношении получим уточнённое значение .

                                                              (2.14)

Рис.13. Процедура уточнения величины  и

         Процедура уточнения величины  и  отражена на графиках Рис.12 и Рис.13.

Таким образом, для второго слагаемого определены все параметры , , ,  сведенные в таблицу 2.

Таблица 2

Для определения параметров третьего слагаемого исходного соотношения (2.1) необходимо вычислить функцию 

                      (2.15)

График этой функции, представлен на Рис.14.

Рис.14.

Из полученного графика видно , что при  преобладают помехи, приводящие к росту функции  с увеличением . на интервале .

На нижнем графике Рис.14 представлено преобразование Фурье для функций , позволяющие определить величину циклической частоты . Она оказывается равной .

         Для определения предварительного значения параметра  вычисляются последовательности интегралов

                           (2.16)

Где параметр  принимает значения  для различных пробных вариантов.

Рис.15. Результаты вычислений

Результаты вычислений представлены на Рис.15 и Рис.16  в виде  последовательностей точек со знакопеременными значениями по оси у

Рис.16. последовательности точки со знакопеременными значениями по оси у

Из графически представленных результатов расчетов видно, что в окрестности значения  монотонное убывающее отклонений от горизонтальной оси, сменяется их возрастанием. поэтому предварительное значение  принимается равным 0.44.

График функции  при  представлен на Рис.17.

Рис.17. График функции  при

Результаты Фурье-анализа функции  даны на нижем графике Рис.17. Расчеты показали , что .

Рис.18. график функции

Представленный на Рис.18. график функции  позволил установить область максимальной стабильности амплитуды  : она приходится на интервал .

       При этом предварительное значение  оказалось равным 0.30069.

    Для получения этого результата вычислялось среднее арифметическое 20. максимальных (амплитудных) значений функции.

                                                             (2.17)

    Значения фазы  определялись в результате вычисления интегралов вида :

                                        (2.18)

Рис.19. отмечена окрестность значения .

       На графике Рис.19. отмечена окрестность значения , где интеграл обладает максимальной стабильностью.

       Повторяя ранее применявшийся подход, определяем уточненные значения параметров .

    Значения  уточняются путем анализа поведения величин интегралов вида (2.18) на интервале .

       Результаты расчетов (Рис.20) дают .

Рис.20. Результаты расчетов дают .

         Преобразование Фурье функции  на интервале  позволяет определить циклическую частоту . В результате оказалось .(Рис.21).

Рис.21 В результате оказалось

Уточненное значение амплитуды  на интервале оказалось равным = 1.46094. При этом определялось среднее арифметическое значение .Рис.22.

                                                                                               (2.19)

Рис. 22. среднее арифметическое значение

       Уточненное значение  определялось из соотношения (2.18). (Рис.23).

                                                                                        (2.20)

При  получилось  = 0.28454

Таким образом, для третьего слагаемого определены все параметры , , ,  сведенные в таблицу 3.

Таблица 3

Рис.23. Уточненное значение

Для определения погрешностей параметров четвертого слагаемого исходного соотношения (2.2) необходимо вычислить функцию 

                                     (2.21)

График функции  представлен на Рис.24.

Рис.24.

                                            (2.22)

График функции  представлен на Рис.25.

Рис.25. График функции

  Уравнения  (2.21) и (2.22) при времени  представлены на Рис.25.

Погрешность можно определить по формуле

                                                      (2.23)

  График этой функции  представлен на Рис.26.

Рис.26. график погрешности определения последнего слагаемого 

ЛИТЕРАТУРА

1.      Марпл.-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер.с англ.-М.: Мир,1990.-584с.,ил.

2.      Постников В.С. Внутреннее трение в металлах.- М.:Изд-во «Металлугия»,1969.-330с.

3.      Постников. В.С. Физика и химия твердого состояния, М.: «Металлургия»,1978,-544с.