Другие журналы
|
научное издание МГТУ им. Н.Э. БауманаНАУКА и ОБРАЗОВАНИЕИздатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211. ISSN 1994-0408
Имитационное математическое моделирование определения параметров упругого материала с памятью
# 01, январь 2009 УДК 681.2.087;004.942.519.876.5
МГТУ им.Н.Э.Баумана, Тайвань
Исследование изменения во времени свойств конструкционных материалов представляет большой практический интерес. Здесь, в частности, одним из важных аспектов решения данной проблемы может быть определение с повышенной точностью параметров реологической модели материала. В связи с этим ниже рассматривается схема определения параметров осциллятора, упругий элемент которого обладает памятью . Уравнение движения такого осциллятора под действием колеблющейся на фиксированной частоте вынуждающей силы имеет вид [1] [2] :
(1) Здесь - смещение осциллятора относительно положения равновесия, - коэффициент затухания, и - релаксированное и нерелаксированное значения собственной циклической частоты - параметр релаксации , - постоянная амплитуда вынуждающей силы, - её циклическая частота. Поскольку , обладая памятью, материал упругого элемента может измениться необратимо после воздействия на него осциллирующей силой, переход к изучению отклика материала упругого элемента на новой частоте колебаний, отличной от предыдущей, может привести к погрешностям. Поэтому амплитуда осуществляющей тестовое воздействие вынуждающей силы должна быть минимальной . Решение уравнения (1) для установившихся колебаний ищется в виде :
(2)
где и - зависящие от циклической частоты амплитуда и сдвиг фазы между вынуждающей силой и откликом смещением-осциллятора.
Из уравнения (1) с помощью (2) следует система для определения амплитуды и фазы .
, (3) ,
которая позволяет получить
, (4) . (5)
Для экспериментального определения параметров осциллятора по результатам определения его амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик полагается , что отсчеты амплитуды и фазы выполнены в заданной полосе частот на дискретных частотах ωi , отстоящих друг от друга на одинаковые интервалы так , что ωi+1- ωi=const во всей исследуемой полосе частот. Выбранным произвольно из полученного дискретного набора частот их четырем значениям ω1 , ω2 , ω3 , ω4 соответствуют четыре значения амплитуды , , , и четыре значения фазы φ1 , φ 2 , φ 3 , φ 4 , полученные экспериментально . Этого набора величин достаточно для образования системы четырех уравнений для определения четырех величин s , ω0 , ω∞ , β . Из уравнений (4) и (5) получается уравнение
, (6)
в котором параметры и известны из эксперимента. Последнее уравнение позволяет получить систему
(7)
Здесь () Из уравнений (7) следует система :
, (8) ,
позволяющая после исключения произведения и простейших алгебраических преобразований получить биквадратное уравнение относительно :
(9)
где Вычислив величину параметра из этого уравнения легко получить из системы (8) систему линейных уравнений для вычисления параметров и :
, (10) , Решение этой системы получается в виде .
(11) (12)
Для определения погрешности результатов накопление статистики можно имитировать , подбирая значениям частот ωi , где - число эквидистантных частот в заданном диапазоне . Из соотношения (4) , используя найденные значения s , ω0 и ω∞ легко получить и значение коэффициента затухания β :
(13)
Таким образом , определение амплитудо-частотных и фазочастотных характеристик осциллятора , упругий элемент которого обладает памятью , как уже было отмечено сводится к экспериментальному нахождению амплитуды и фазы колебаний осциллятора под действием вынуждающей силы , задаваемой в необходимом диапазоне частот . Особенностью такого экспериментального исследования является применение тестовых воздействий минимальной величины , чтобы они не вызвали дополнительных необратимых изменений материала упругого элемента . Однако в этом случае отклик на тестовое воздействие по своему уровню приблизится к уровню случайных фоновых помех или даже будет сравним с их уровнем . Источником таких помех могут оказаться колебания основания установки , создаваемые микросейсмами и вибрациями индустриально промышленного происхождения , влиянием нестабильности других параметров внешней среды : давления , температуры , аэродинамическими эффектами , электромагнитными наводками , фоновыми засветками , а также внутренними шумами измерительной аппаратуры. Однако решение проблемы отстройки от помех в значительной степени упрощается , так как задача определения параметров полезного сигнала (его амплитуды и фазы ) в виде одной гармоники на фиксированной и заранее известной частоте хорошо изучена. Средние квадратические значения погрешности определения координаты , амплитуды и фазы , как показывают расчеты , связаны соотношением :
(14) или . Существенно , что здесь и величины , получаемые при обработке результатов измерений . Введение обозначений
(15) приводит к системе
(16) где знак ~ над обозначениями , и подчеркивает наличие случайной составляющей в результатах их определения . Так же как и в случае детерминированного процесса можно получить биквадратное уравнение для определения частоты релаксации :
(17) Где
и формулы , определяющие значения и :
(18) (19) Необходимо установить погрешности определения величин , и . Для этого , сначала определяется корень уравнения (9) :
(20) Где - коэффициенты уравнения (9) .
, , Таким образом ,
(21) где Выражения для оценки погрешностей определения величин и следует из соотношений (11) , (12) : (22) (23)
Здесь выражения для погрешности определения величин () следуют из уравнения (15) и получаются в виде .
(24)
Выражение для погрешности определения частоты релаксации получается аналогично из формулы (20) и не приводится ввиду его громоздкости . Очевидно , снижение погрешностей определения амплитуды и фазы гарантирует и уменьшение погрешностей , и .
ЛИТЕРАТУРА
Публикации с ключевыми словами: релаксация, осцилляторы, наследственность, погрешность измерения Публикации со словами: релаксация, осцилляторы, наследственность, погрешность измерения Смотри также: Тематические рубрики: Поделиться:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|