НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

С. А. Васюков

Существуют различные конфигурации электродных систем в трехосных электростатических подвесах: 6-электродная, 12-ти электродная с раздельными или совмещенными силовыми и измерительными электродами, 12-электродная с удвоенной площадью силовых электродов одной оси и др. В 12-электродной системе на каждую полуось подвеса приходится по два электрода (так называемые разрезные электроды) расстояние между краями которых по условию обеспечения электрической прочности должно быть не менее 0,3-0,5 мм. Это приводит к снижению полезной площади силовых электродов, особенно для подвесов роторов малых диаметров. В этом плане 6-электродная конструкция обладает несомненным преимуществом. Однако применение подвесов с такой электродной системой, особенно в прецизионном исполнении, требует специальных мер по минимизации потенциала ротора и обеспечению равножесткости подвеса.

Расчет силовой характеристики может быть произведен, опираясь на различные математические модели подвеса. В одних моделях предполагается, что электрическое поле полностью сосредоточено в промежутке электрод-ротор. Эти модели по существу используют зависимость емкости плоского конденсатора от смещения ротора. В других случаях [1] с той или иной степенью приближения решается полевая задача распределения потенциала с последующим определением силовой функции.  

Обозначим проводники рассматриваемого подвеса, рис. 1, следующим образом: индексом  i = 0 - ротор, индексом i = 7- нулевой электрод (металлизированные межэлектродные промежутки), а  i = 1, …., 6 – электроды.

Рис. 1. Электродная система подвеса

Проекцию силы на направление смещения можно найти из выражения [2]

                                                    (1)

где n – количество проводников (в рассматриваемом подвесе );  -  коэффициенты электростатической индукции (КЭСИ), которые связывают заряды тел  с их потенциалами .

                                                         (2)

  имеют размерность емкости, зависят от геометрических размеров проводников (электродов, ротора, нулевого электрода) и их взаимного расположения, а, следовательно, являются функциями смещения ротора из центра подвеса. Собственные КЭСИ  для конструкций приборов с малыми ротор-электродными зазорами близки по своим значениям к емкостям конденсаторов, образованных поверхностью электрода и расположенным непосредственно под ним участком ротора той же площади. Взаимные КЭСИ (кроме ) значительно меньше собственных и учитывают перекрестные межэлектродные связи. КЭСИ  близок по своему значению при малости зазора к суммарной емкости всех (в том числе и нулевого) электродов. КЭСИ и вычисленные и на их основе проекции сил для сферического подвеса (путем решения полевой задачи распределения потенциала в области ротор-камера) были получены в работе [2].

Законы управления потенциалами должны обеспечивать устойчивость, а также необходимые перегрузочную способность и жесткость. Подвесы с нулевым потенциалом ротора имеют при прочих равных условиях лучшие характеристики и это также необходимо учитывать при выборе закона управления.

В подвесе на постоянном токе потенциалы на парах (1,3), (2,4), (5,6) диаметрально противоположных электродов  регулируются выходными высоковольтными усилителями-формирователями на основе их входных сигналов . Обозначим коэффициенты передачи этих усилителей , тогда алгоритмы управления потенциалами можно записать в виде

          (3)

Коэффициенты принимают значения плюс или минус единица, их выбор проводится таким образом, чтобы обеспечить минимальный наведенный потенциал ротора. Потенциалы являются положительными величинами, и представляет собой опорное напряжение на электродах. Величина выбирается с учетом максимально допустимого по пробою напряжения на электродах подвеса. Текущие значения управлений формируются регуляторами на основе обратных связей по сигналам датчиков перемещений.

Выделим из (2) выражение для потенциала ротора:

                                        (4)

Поскольку потенциалы на электродах  непосредственно не связаны с зарядом ротора , то минимизацию выражения (4) можно провести минимизируя по отдельности каждое из его слагаемых. Рассмотрим случай , т.е. потенциал ротора индуцируется только окружающими его электродами. Пусть ротор находится в центральном положении. В этом случае для сферического подвеса все  равны между собой и потенциал ротора принимает нулевое значение, если сумма всех потенциалов на электродах равна нулю.

Выберем коэффициенты  и  в (3) таким образом, чтобы при центральном положении () потенциал ротора был нулевым. Так как число осей подвеса нечетно, то возможны два варианта формирования опорных напряжений.

Вариант 1. Диаметрально противоположные электроды имеют опорные напряжения одного знака, например электроды Э1 и Э3 – положительные, а Э2, Э4, Э5, Э6 – отрицательные. Очевидно, что согласно (4), потенциал ротора при центральном положении ротора будет нулевым, если значение положительного опорного напряжения на одной паре электродов в два раза больше значения отрицательного на двух других парах.

В этом случае законы управления (3) в статическом режиме запишем в виде

     (5)

Здесь - коэффициенты передачи датчика, промежуточного и выходного усилителя соответствующего канала, - нормированные смещения центра ротора, - опорное напряжение. Назовем (5) первым законом (вариантом) управления.

Анализ величины потенциала ротора проведем, задавшись некоторыми характерными размерами подвеса: радиус ротора , зазор , угловой размер электрода .

Пусть , такое опорное напряжение обеспечивает по осям y и z троекратную перегрузочную способность подвеса при массе ротора . Максимальное смещение по осям y и z, при котором еще сохраняется пропорциональное регулирование (линейная зона) установим в 10% от зазора,

Выберем по всем осям один и тот же коэффициент усиления  Так как то протяженность линейной зоны по оси x оказывается в два раза больше, чем по осям y и z.

Исследуем, как изменяется потенциал ротора при произвольных,  в том числе и больших смещениях, когда приращения потенциалов на электродах (5) выходят на насыщение. Будем задавать смещение центра ротора  из центра подвеса О () в различных направлениях, которые определяются в сферической системе координат,  рис. 1,  углами . Линейные смещения по осям x, y, z можно представить в виде

Для первого варианта управления изменение потенциала представлено на рис. 2.

 Максимальной величины 0.09 нормированный потенциал  достигает при смещении в направлении электрода Э1, рис. 1. Этому случаю соответствуют углы . При смещении в линейной зоне ( ) нормированный потенциал для любого направления смещения не превышает 0.02.

Вариант 2. Диаметрально противоположные электроды имеют опорные напряжения противоположного знака (назовем этот случай вторым законом управления):

            (6)

Здесь, рис. 3, даже в линейной зоне подвеса наблюдаются значительные величины потенциала, а максимальное значение при смещении в направлении электрода Э1 () достигает почти .

Рис. 2. Потенциал ротора при первом варианте управления

С точки зрения наведенного потенциала ротора второй вариант управления несомненно хуже, сложнее он и в технической реализации. Однако этот вариант в силу его симметрии обеспечивает лучшую равножесткость без дополнительного подбора коэффициентов усиления каналов подвеса. Чтобы сделать окончательные выводы о предпочтительности того или иного варианта управления рассмотрим силовые характеристики подвеса.

Результирующий вектор силы, выраженный через проекции на оси координат по абсолютной величине будет равен , а угол  между вектором силы и направлением смещения ротора можно вычислить как

Рис. 3. Потенциал ротора при втором варианте управления

Очевидно, что полезная составляющая силы противоположна направлению смещения. Действительно, для возвращения ротора в центр подвеса необходимо, чтобы сила и смещение имели разные знаки. Назовем полезную составляющую восстанавливающей силой, и будем вычислять ее как . Сила будет восстанавливающей в том диапазоне смещений, где . Статические силовые характеристики при равенстве коэффициентов усиления, построенные для выбранных типоразмеров подвеса при смещении в плоскости , приведены на рис. 4. Подвес в линейной зоне не обладает равножесткостью. В работе [2] показано, что для выравнивания жесткостей при первом варианте управления  необходимо по оси x, где имеется двойное опорное напряжение, установить расчетный коэффициент усиления

                                                                              (7)

 где параметры A, B, D зависят от геометрических размеров подвеса (через коэффициенты электростатической индукции) и опорного напряжения .

Рис. 4. Силовые характеристики при первом варианте управления

Проводя по (7) вычисления для выбранных типоразмеров подвеса, получаем соотношение между коэффициентами усиления, что соответствует протяженности линейной зоны регулирования по оси x в 3.3 раза большей, чем по осям y и z. Статические силовые характеристики при полученном соотношении коэффициентов приведены на рис. 5. Подвес практически равножесткий, что показывает возможность обеспечения статической равножесткости при первом варианте управления за счет выбора коэффициентов усиления каналов.

Рис. 5. Силовые характеристики равножесткого подвеса

Важной характеристикой является величина предельного смещения, при котором сохраняются восстанавливающие свойства подвеса (). Как видно из рис. 4 и 5, максимальное относительное смещение . Это свойство подвеса следует учитывать при проектировании упоров с которых осуществляется первоначальное всплытие ротора. Расчеты также показывают, что при перемещении в плоскости , максимальное смещение возрастает до 0.7.

Статические силовые характеристики при втором варианте управления практически равножестки, однако, предельные величины смещений, при которых сохраняется восстанавливающая сила подвеса, здесь ниже: (против 0.66 в первом варианте) при смещении в плоскости  и  (против 0.7) при смещении в плоскости .

Дополнительные исследования показывают, что при первом варианте управления учет или не учет наведенного потенциала ротора при вычислениях силовых характеристик несущественен. При втором варианте именно наведенный потенциал ротора приводит к уменьшению диапазона действия восстанавливающей силы.

Подвес при втором варианте управления более чувствителен к изменениям потенциала ротора. Если потенциал нестабилен, а это может быть вызвано наличием неконтролируемого случайного заряда ротора , то эта нестабильность напрямую перейдет в нестабильность силовой характеристики, а, следовательно, и центрирования ротора. Исходя из этого, использование закона (6) в конкретных образцах приборов, несмотря на то, что при нем обеспечивается равножесткость подвеса, представляется нецелесообразным.

Обеспечение динамической равножесткости подвеса при первом варианте управления потенциалами целесообразно осуществить в рамках нелинейной динамической имитационной модели подвеса, позволяющей оптимизировать параметры корректирующих звеньев и в полной мере учесть влияние на устойчивость и качество регулирования:

- нелинейности силовых характеристик;

- ограничений ресурса управления при работе вне линейной зоны регулирования;                        

- потенциала и заряда ротора;

- межканальных связей и др.

Структура динамической нелинейной имитационной модели подвеса на постоянном токе, выполненной в среде Simulink пакета Matlab 2006 показана на рис. 6.

Рис. 6. Нелинейная имитационная модель подвеса

Центральным звеном модели является блок вычисления сил. Он включает подблоки вычисления потенциала ротора и проекций сил . На вход блока поступают текущие значения координат центра ротора, потенциалы всех шести электродов и случайный заряд ротора . Проекции пондеромоторных сил , сформированные на выходе блока вычисления сил, суммируются с возмущающими воздействиями , два раза интегрируются и после прохождения через регуляторы поступают на блок формирования потенциалов. Внутри этого блока находятся три подблока, (по одному на каждую пару диаметрально противоположных электродов). Потенциалы электродов подвеса формируются из опорных напряжений, с которыми складывается или вычитается управляющий сигнал. Здесь же включены элементы типа “насыщение”, ограничивающие потенциалы на электродах в соответствии с первым законом управления. Переходные процессы, возникающие при ненулевых начальных условиях (этап всплытия ротора с упоров) или под действием возмущающих сил , регистрируются виртуальными осциллографами (на рис. 6 не показаны) или записываются в память для дальнейшей обработки. Для оптимизации параметров подвеса используется инструментальный пакет Nonlinear Control Design Blockset (NCD-Blockset). Он содержит графический интерфейс для настройки параметров динамических объектов, обеспечивающих желаемое качество переходных процессов.

Задание динамических ограничений осуществляется в визуальном режиме блоками Signal Constraint (блоки 1- 4, рис. 6). В блоках  1 и 2 формируются ограничения на переходный процесс, состоящий из этапов всплытия и отработки перегрузки. В блоках 3 и 4 введены ограничения на перерегулирование при воздействии ступенчатой перегрузки. На базе этих ограничений NCD-Blockset автоматически генерирует задачу конечномерной оптимизации так, чтобы точка экстремума в пространстве настраиваемых параметров соответствовала выполнению всех требований, предъявляемых к качеству процесса. Эта задача решается с привлечением специализированной процедуры квадратичного программирования из пакета Optimization Toolbox. Ход оптимизации контролируется с помощью отображения графика процесса и текущих значений минимизируемой функции. По завершении процесса результат фиксируется в рабочем пространстве.

В ряде работ по исследованию динамических характеристик линейных моделей электростатических подвесов, в частности в [2] ,было отмечено, что объект стабилизации (ротор) является неустойчивым, неминимально-фазовым звеном. Для объектов такого типа неприменимы регулярные методы синтеза и при выборе структуры корректирующего звена руководствуются в основном накопленным опытом работы с подвесами, а также минимальной сложностью коррекции. Если в системе стабилизации допустима работа со статической ошибкой, наиболее простым является интегро-дифференцирующее звено  Если же система должна быть астатической по возмущающему воздействию, то целесообразно использовать ПИД-регулятор. При выполнении процедуры синтеза регуляторов будем считать, что их структура задана и задачу синтеза сведем к нахождению коэффициентов усиления и постоянных времени корректирующих звеньев.

Процесс оптимизации с использованием NCD-Blockset требует задания начальной точки  и диапазона изменения каждого параметра регулятора . Сходимость оптимизационного процесса и время оптимизации, как показывает опыт работы с процедурами NCD-Blockset, напрямую зависит от того насколько начальная точка близка к оптимальной. Расчет начальных точек целесообразно проводить на линеаризованных одноосных моделях подвеса с использованием, например [2], корневого метода.

На рис. 7 а для рассмотренного выше подвеса приведены полученные в результате оптимизации параметров корректирующих звеньев переходные процессы первоначального всплытия ротора с упоров и отработки ступенчатой перегрузки в 3g. Переходные процессы по каналу x (удвоенное опорное напряжение) и каналам y и z различаются, что подтверждает динамическую неравножесткость подвеса. Для минимизации динамической неравножесткости в имитационную модель подвеса, рис. 6, включен дополнительный блок 5 оптимизации Signal Constraint. Его задачей является корректировка постоянных времени регуляторов с целью сведения к минимуму разности переходных процессов каналов на этапе отработки перегрузки. Переходные процессы после дополнительного этапа оптимизации приведены на рис. 7 б. На промежутке воздействия перегрузки удается обеспечить как статическую, так и динамическую равножесткость подвеса.

Рис. 7. Переходные процессы при всплытии и реакции на перегрузку

Выводы: обеспечение равножесткости в трехосных 6-электродных подвесах на постоянном токе с удвоенным опорным напряжением по одной из осей возможно за счет выбора коэффициентов усиления каналов и дополнительной оптимизации постоянных времени корректирующих звеньев.

ЛИТЕРАТУРА

1.                  Мартыненко Ю. Г. Движение твердого тела в электрических и магнитных полях. М.: Наука, 1988.-368 с.

2.                  Г. Ф. Дробышев, С. А. Васюков, С. Н. Грибова.  Теория и проектирование электростатических подвесов. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002.-188 с.